Résoudre les systèmes suivants par substitution :
\[ \begin{cases} x = 3 - y - z \\ 4x = 5y - 1 \\ -5 + 3x = -2y \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x - y = 7 \\ x + z = 6 \\ x - 2z + 3y = 48 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{x}{y} = -\frac{1}{3} \\ \frac{y}{z} = -3 \\ x + y + z = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2u + v = 1 + \frac{1}{2}w \\ 2u - 6v = 16 - 2w \\ 2w - v = 3 - 2u \end{cases} \]
Système 1 : x = 1, y = 1, z = 1
Système 2 : x = 27/2, y = 13/2, z = –15/2
Système 3 : x = –1, y = 3, z = –1
Système 4 : u = 37/25, v = –13/5, w = –32/25
Nous allons résoudre chacun des systèmes par la méthode de substitution en expliquant précisément chaque étape.
────────────────────────────── Système 1
────────────────────────────── On vous donne : (1) x = 3 – y – z
(2) 4x = 5y – 1
(3) –5 + 3x = –2y
Nous utilisons l’équation (1) pour exprimer x en fonction de y et z : x = 3 – y – z
Remplaçons x dans (2) : 4(3 – y – z) = 5y – 1
→ 12 – 4y – 4z = 5y – 1
Regroupons les termes en y et z : 12 + 1 = 5y + 4y + 4z
13 = 9y + 4z
Nous obtenons ainsi l’équation (A) :
9y + 4z = 13
Remplaçons x dans (3) : –5 + 3(3 – y – z) = –2y
→ –5 + 9 – 3y – 3z = –2y
Simplifions : 4 – 3y – 3z = –2y
Isolons y en déplaçant –3y vers la droite : 4 – 3z = –2y + 3y
4 – 3z = y
Nous obtenons ainsi l’équation (B) :
y = 4 – 3z
Substituons y de (B) dans (A) : 9(4 – 3z) + 4z = 13
→ 36 – 27z + 4z = 13
→ 36 – 23z = 13
Isolons z : –23z = 13 – 36
–23z = –23
z = 1
Retrouvons y à partir de (B) : y = 4 – 3×1 = 4 – 3 = 1
Enfin, retrouvons x avec (1) : x = 3 – 1 – 1 = 1
La solution du système 1 est donc : x = 1, y = 1, z = 1
────────────────────────────── Système 2
────────────────────────────── On vous donne : (1) x – y = 7
(2) x + z = 6
(3) x – 2z + 3y = 48
D’après (1) exprimez x en fonction de y : x = y + 7
Remplaçons x dans (2) pour trouver z : (y + 7) + z = 6
z = 6 – 7 – y
z = –1 – y
Utilisons maintenant (3) en remplaçant x et z : (y + 7) – 2(–1
– y) + 3y = 48
Développons : y + 7 + 2 + 2y + 3y = 48
Additionnons les termes semblables : (1y + 2y + 3y) = 6y et 7 + 2 =
9, donc : 6y + 9 = 48
Isolons y : 6y = 48 – 9
6y = 39
y = 39/6 = 13/2
Retrouvons x : x = y + 7 = 13/2 + 7
7 s’exprime en fraction sur 2 : 7 = 14/2, donc : x = (13 + 14)/2 =
27/2
Retrouvons z : z = –1 – y = –1 – 13/2
–1 = –2/2, ainsi : z = (–2 – 13)/2 = –15/2
La solution du système 2 est : x = 27/2, y = 13/2, z = –15/2
────────────────────────────── Système 3
────────────────────────────── On vous donne : (1) x/y = –1/3
(2) y/z = –3
(3) x + y + z = 1
D’après (1) exprimez x en fonction de y : x = –y/3
D’après (2) exprimez y en fonction de z : y = –3z
Remplaçons maintenant dans (1) : x = –(–3z)/3 = 3z/3 = z
Utilisons (3) : x + y + z = z + (–3z) + z = (z – 3z + z) =
–z
L’équation devient : –z = 1
Ainsi, z = –1
Retrouvons y : y = –3z = –3(–1) = 3
Retrouvons x qui vaut z : x = z = –1
La solution du système 3 est : x = –1, y = 3, z = –1
────────────────────────────── Système 4
────────────────────────────── On vous donne : (1) 2u + v = 1 +
(1/2)w
(2) 2u – 6v = 16 – 2w
(3) 2w – v = 3 – 2u
D’après (1), exprimons v en fonction de u et w : 2u + v = 1 +
w/2
v = 1 + w/2 – 2u
Remplaçons v dans (3) : 2w – [1 + w/2 – 2u] = 3 – 2u
Développons : 2w – 1 – w/2 + 2u = 3 – 2u
Pour simplifier, regroupons les termes : Les termes en w : 2w – w/2
= (4w – w)/2 = (3w)/2
Nous obtenons : (3w)/2 + 2u – 1 = 3 – 2u
Isolons ensuite les termes en u et w. Ajoutons 1 des deux côtés :
(3w)/2 + 2u = 4 – 2u
Puis, ajoutons 2u à droite : (3w)/2 + 4u = 4
Pour éliminer la fraction, multiplions par 2 : 3w + 8u =
8 (Équation A)
Remplaçons v dans (2) en utilisant v = 1 + w/2 – 2u : 2u – 6(1
+ w/2 – 2u) = 16 – 2w
Développons le membre de gauche : 2u – 6 – 3w + 12u = 16 – 2w
Additionnons les termes en u : 14u – 3w – 6 = 16 – 2w
Isolons les termes en u et w : 14u – 3w = 16 – 2w + 6
14u – 3w = 22 – 2w
Ajoutons 2w des deux côtés : 14u – w = 22 (Équation
B)
Nous avons donc deux équations en u et w : (Équation A) 8u +
3w = 8
(Équation B) 14u – w = 22
Cherchons à exprimer w en fonction de u à partir de (B) : 14u – w =
22
w = 14u – 22
Substituons w dans (A) : 8u + 3(14u – 22) = 8
8u + 42u – 66 = 8
50u – 66 = 8
50u = 8 + 66
50u = 74
u = 74/50 = 37/25
Déduisons w à partir de w = 14u – 22 : w = 14(37/25) – 22
w = (518/25) – 22
22 s’exprime en vingt-cinqièmes : 22 = 550/25
w = (518 – 550)/25 = –32/25
Enfin, retrouvons v avec l’expression obtenue précédemment : v
= 1 + w/2 – 2u
Calculons w/2 : w/2 = (–32/25)/2 = –16/25
v = 1 – 16/25 – 2(37/25)
2(37/25) = 74/25
1 = 25/25, donc : v = (25 – 16 – 74)/25 = (–65)/25 = –13/5
La solution du système 4 est donc : u = 37/25, v = –13/5, w = –32/25
────────────────────────────── Récapitulatif des Solutions ────────────────────────────── 1) x = 1, y = 1, z = 1
2) x = 27/2, y = 13/2, z = –15/2
3) x = –1, y = 3, z = –1
4) u = 37/25, v = –13/5, w = –32/25
Ces corrections détaillées permettent de suivre pas à pas la méthode de substitution pour résoudre chacun des systèmes proposés.