Résoudre les systèmes suivants par addition :
\[ \begin{cases} x - 2y + 5z = 15 \\ 2x + 3y - z = -6 \\ 3x + 2y + 4z = 7 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x - y + 3z = 1 \\ - z + y + 3x = 2 \\ x + y - 2z = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2u + v = 1 + \dfrac{1}{2}w \\ 10u - 6v = 16 - 2w \\ 2w - v = 3 - 2u \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2u + v = 1 + \dfrac{1}{2}w \\ 10u - 6v = 16 - 2w \\ 2w - v = 3 - 2u \end{cases} \]
Exercice 1 : \(x = 1\), \(y = -2\), \(z = 2\)
Exercice 2 : \(x = 1\), \(y = -2\), \(z = -1\)
Exercice 3 : \(u = 1\), \(v = -1\), \(w = 0\)
Exercice 4 : \(u = 1\), \(v = -1\), \(w = 0\)
Résoudre le système par addition :
\[ \begin{cases} x - 2y + 5z = 15 \quad \text{(1)}\\ 2x + 3y - z = -6 \quad \text{(2)}\\ 3x + 2y + 4z = 7 \quad \text{(3)} \end{cases} \]
Étape 1 : Éliminer une variable
Commençons par éliminer la variable \(x\). Pour cela, nous allons manipuler les équations (1) et (2).
Multiplions l’équation (1) par 2 :
\[ 2(x - 2y + 5z) = 2 \times 15 \\ 2x - 4y + 10z = 30 \quad \text{(1a)} \]
Soustrayons l’équation (2) de l’équation (1a) :
\[ (2x - 4y + 10z) - (2x + 3y - z) = 30 - (-6) \\ -7y + 11z = 36 \quad \text{(4)} \]
Étape 2 : Éliminer la même variable dans une autre paire d’équations
Maintenant, éliminons \(x\) en utilisant les équations (1) et (3).
Multiplions l’équation (1) par 3 :
\[ 3(x - 2y + 5z) = 3 \times 15 \\ 3x - 6y + 15z = 45 \quad \text{(1b)} \]
Soustrayons l’équation (3) de l’équation (1b) :
\[ (3x - 6y + 15z) - (3x + 2y + 4z) = 45 - 7 \\ -8y + 11z = 38 \quad \text{(5)} \]
Étape 3 : Résoudre le système à deux équations
Nous avons maintenant deux équations avec deux inconnues :
\[ \begin{cases} -7y + 11z = 36 \quad \text{(4)}\\ -8y + 11z = 38 \quad \text{(5)} \end{cases} \]
Soustrayons l’équation (4) de l’équation (5) :
\[ (-8y + 11z) - (-7y + 11z) = 38 - 36 \\ - y = 2 \\ y = -2 \]
Étape 4 : Trouver \(z\)
Remplaçons \(y = -2\) dans l’équation (4) :
\[ -7(-2) + 11z = 36 \\ 14 + 11z = 36 \\ 11z = 22 \\ z = 2 \]
Étape 5 : Trouver \(x\)
Remplaçons \(y = -2\) et \(z = 2\) dans l’équation (1) :
\[ x - 2(-2) + 5(2) = 15 \\ x + 4 + 10 = 15 \\ x + 14 = 15 \\ x = 1 \]
Solution du système :
\[ x = 1, \quad y = -2, \quad z = 2 \]
Résoudre le système par addition :
\[ \begin{cases} 2x - y + 3z = 1 \quad \text{(1)}\\ - z + y + 3x = 2 \quad \text{(2)}\\ x + y - 2z = 1 \quad \text{(3)} \end{cases} \]
Étape 1 : Éliminer une variable
Commençons par éliminer \(y\) en combinant les équations (1) et (2).
Additionnons les équations (1) et (2) :
\[ (2x - y + 3z) + (3x + y - z) = 1 + 2 \\ 5x + 2z = 3 \quad \text{(4)} \]
Étape 2 : Éliminer la même variable dans une autre paire d’équations
Maintenant, éliminons \(y\) en combinant les équations (1) et (3).
Soustrayons l’équation (3) de l’équation (1) :
\[ (2x - y + 3z) - (x + y - 2z) = 1 - 1 \\ x - 2y + 5z = 0 \quad \text{(5)} \]
Étape 3 : Résoudre le système à deux équations
Nous avons maintenant les équations (4) et (5) :
\[ \begin{cases} 5x + 2z = 3 \quad \text{(4)}\\ x - 2y + 5z = 0 \quad \text{(5)} \end{cases} \]
Cependant, il semble y avoir une confusion ici. Revenons à l’étape 1 et choisissons une autre méthode.
Alternative : Éliminer \(y\) directement
À partir des équations (1) et (2), exprimons \(y\) en fonction de \(x\) et \(z\).
De l’équation (1) :
\[ 2x - y + 3z = 1 \\ \Rightarrow y = 2x + 3z - 1 \quad \text{(6)} \]
Étape 4 : Substituer \(y\) dans les autres équations
Remplaçons \(y\) dans l’équation (3) :
\[ x + (2x + 3z - 1) - 2z = 1 \\ 3x + z - 1 = 1 \\ 3x + z = 2 \quad \text{(7)} \]
Remplaçons \(y\) dans l’équation (2) :
\[ 3x + (2x + 3z - 1) - z = 2 \\ 5x + 2z - 1 = 2 \\ 5x + 2z = 3 \quad \text{(8)} \]
Étape 5 : Résoudre le système avec les équations (7) et (8)
Nous avons :
\[ \begin{cases} 3x + z = 2 \quad \text{(7)}\\ 5x + 2z = 3 \quad \text{(8)} \end{cases} \]
Multipliant l’équation (7) par 2 :
\[ 6x + 2z = 4 \quad \text{(7a)} \]
Soustrayons l’équation (8) de l’équation (7a) :
\[ (6x + 2z) - (5x + 2z) = 4 - 3 \\ x = 1 \]
Étape 6 : Trouver \(z\)
Remplaçons \(x = 1\) dans l’équation (7) :
\[ 3(1) + z = 2 \\ 3 + z = 2 \\ z = -1 \]
Étape 7 : Trouver \(y\)
Remplaçons \(x = 1\) et \(z = -1\) dans l’équation (6) :
\[ y = 2(1) + 3(-1) - 1 \\ y = 2 - 3 - 1 \\ y = -2 \]
Solution du système :
\[ x = 1, \quad y = -2, \quad z = -1 \]
Résoudre le système par addition :
\[ \begin{cases} 2u + v = 1 + \dfrac{1}{2}w \quad \text{(1)}\\ 10u - 6v = 16 - 2w \quad \text{(2)}\\ 2w - v = 3 - 2u \quad \text{(3)} \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier les équations
Réarrangeons les équations pour regrouper les variables d’un côté.
Équation (1) :
\[ 2u + v - \dfrac{1}{2}w = 1 \quad \text{(1a)} \]
Équation (2) :
\[ 10u - 6v + 2w = 16 \quad \text{(2a)} \]
Équation (3) :
\[ 2u - v + 2w = 3 \quad \text{(3a)} \]
Étape 2 : Éliminer une variable
Commençons par éliminer \(v\). Pour cela, nous allons utiliser les équations (1a) et (3a).
Ajoutons l’équation (1a) à l’équation (3a) :
\[ (2u + v - \dfrac{1}{2}w) + (2u - v + 2w) = 1 + 3 \\ 4u + \dfrac{3}{2}w = 4 \quad \text{(4)} \]
Étape 3 : Éliminer la même variable dans une autre paire d’équations
Maintenant, éliminons \(v\) en utilisant les équations (2a) et (3a).
Multipliant l’équation (3a) par 6 :
\[ 6(2u - v + 2w) = 6 \times 3 \\ 12u - 6v + 12w = 18 \quad \text{(5)} \]
Soustrayons l’équation (2a) de l’équation (5) :
\[ (12u - 6v + 12w) - (10u - 6v + 2w) = 18 - 16 \\ 2u + 10w = 2 \quad \text{(6)} \]
Étape 4 : Résoudre le système à deux équations
Nous avons maintenant les équations (4) et (6) :
\[ \begin{cases} 4u + \dfrac{3}{2}w = 4 \quad \text{(4)}\\ 2u + 10w = 2 \quad \text{(6)} \end{cases} \]
Pour faciliter, multiplions l’équation (4) par 2 :
\[ 8u + 3w = 8 \quad \text{(4a)} \]
Nous avons :
\[ \begin{cases} 8u + 3w = 8 \quad \text{(4a)}\\ 2u + 10w = 2 \quad \text{(6)} \end{cases} \]
Étape 5 : Éliminer \(u\)
Multipliant l’équation (6) par 4 :
\[ 8u + 40w = 8 \quad \text{(6a)} \]
Soustrayons l’équation (4a) de l’équation (6a) :
\[ (8u + 40w) - (8u + 3w) = 8 - 8 \\ 37w = 0 \\ w = 0 \]
Étape 6 : Trouver \(u\)
Remplaçons \(w = 0\) dans l’équation (4a) :
\[ 8u + 3(0) = 8 \\ 8u = 8 \\ u = 1 \]
Étape 7 : Trouver \(v\)
Remplaçons \(u = 1\) et \(w = 0\) dans l’équation (1a) :
\[ 2(1) + v - \dfrac{1}{2}(0) = 1 \\ 2 + v = 1 \\ v = -1 \]
Solution du système :
\[ u = 1, \quad v = -1, \quad w = 0 \]
Remarque : L’exercice 4 est identique à l’exercice 3. Par conséquent, la solution est la même.
Solution du système :
\[ u = 1, \quad v = -1, \quad w = 0 \]