Exercice 38

On demande de calculer la pente et l’ordonnée à l’origine des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\), sachant que

• \(d_{1}\) et \(d_{2}\) sont parallèles,
• l’ordonnée à l’origine de \(d_{2}\) est le triple de celle de \(d_{1}\),
• \(d_{1}\) passe par le point \((2 ; 2)\) et \(d_{2}\) passe par le point \((-6 ; 0)\).

Réponse

Les droites sont \(d_{1} : y = \frac{1}{2}x + 1\) et \(d_{2} : y = \frac{1}{2}x + 3\).

Corrigé détaillé

Pour déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\), suivons les étapes suivantes :

1. Comprendre les données du problème

• Les droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\) sont parallèles, donc elles ont la même pente.
• L’ordonnée à l’origine de \(d_{2}\) est le triple de celle de \(d_{1}\).
• \(d_{1}\) passe par le point \((2 ; 2)\).
• \(d_{2}\) passe par le point \((-6 ; 0)\).

2. Définir les inconnues

Notons : - \(m\) la pente commune des deux droites. - \(b_{1}\) l’ordonnée à l’origine de \(d_{1}\). - \(b_{2}\) l’ordonnée à l’origine de \(d_{2}\).

D’après l’énoncé : \[ b_{2} = 3b_{1} \]

3. Écrire les équations des droites

L’équation d’une droite se présente sous la forme : \[ y = mx + b \]

Ainsi : - Pour \(d_{1}\) : \[ y = m x + b_{1} \] - Pour \(d_{2}\) : \[ y = m x + b_{2} \]

4. Utiliser les points donnés pour établir des équations

• Pour \(d_{1}\) passant par \((2 ; 2)\) : \[ 2 = m \times 2 + b_{1} \] \[ 2 = 2m + b_{1} \quad \text{(Équation 1)} \]

• Pour \(d_{2}\) passant par \((-6 ; 0)\) : \[ 0 = m \times (-6) + b_{2} \] \[ 0 = -6m + b_{2} \quad \text{(Équation 2)} \]

5. Utiliser la relation entre \(b_{1}\) et \(b_{2}\)

De l’énoncé : \[ b_{2} = 3b_{1} \]

Remplaçons \(b_{2}\) dans l’Équation 2 : \[ 0 = -6m + 3b_{1} \] \[ 6m = 3b_{1} \] \[ b_{1} = 2m \quad \text{(Équation 3)} \]

6. Résoudre le système d’équations

Remplaçons \(b_{1} = 2m\) dans l’Équation 1 : \[ 2 = 2m + 2m \] \[ 2 = 4m \] \[ m = \frac{2}{4} \] \[ m = \frac{1}{2} \]

Ensuite, calculons \(b_{1}\) : \[ b_{1} = 2m \] \[ b_{1} = 2 \times \frac{1}{2} \] \[ b_{1} = 1 \]

Enfin, déterminons \(b_{2}\) : \[ b_{2} = 3b_{1} \] \[ b_{2} = 3 \times 1 \] \[ b_{2} = 3 \]

7. Conclusion

Les droites sont donc définies par : - Droite \(d_{1}\) : \[ y = \frac{1}{2}x + 1 \] - Droite \(d_{2}\) : \[ y = \frac{1}{2}x + 3 \]

Vérification : - Les pentes sont égales (\(\frac{1}{2}\)), confirmant qu’elles sont parallèles. - L’ordonnée à l’origine de \(d_{2}\) est bien le triple de celle de \(d_{1}\) (\(3 = 3 \times 1\)).

Ainsi, les calculs sont corrects et répondent aux conditions données dans l’énoncé.