Si l’on augmente de 3 m la largeur d’un rectangle et diminue de 3 m sa longueur, l’aire reste inchangée. En revanche, si l’on augmente de 5 m la longueur et diminue de 3 m la largeur, l’aire augmente de \(16 \, \mathrm{m}^{2}\). Quelles sont les dimensions initiales du rectangle ?
Les dimensions initiales du rectangle sont une longueur de 23 mètres et une largeur de 20 mètres.
Pour déterminer les dimensions initiales du rectangle, suivons les étapes ci-dessous.
Données du problème : - Soit \(L\) la longueur initiale et \(l\) la largeur initiale du rectangle. - Première condition : Augmenter la largeur de 3 m et diminuer la longueur de 3 m ne change pas l’aire. - Deuxième condition : Augmenter la longueur de 5 m et diminuer la largeur de 3 m augmente l’aire de \(16 \, \mathrm{m}^{2}\).
Objectif : Trouver les valeurs de \(L\) et \(l\).
Première condition :
L’aire initiale du rectangle est : \[ A = L \times l \]
Après modification : - Nouvelle longueur : \(L - 3\) - Nouvelle largeur : \(l + 3\)
L’aire reste inchangée : \[ (L - 3)(l + 3) = L \times l \]
Développons cette équation : \[ L \times l + 3L - 3l - 9 = L \times l \]
Simplifions en annulant \(L \times l\) des deux côtés : \[ 3L - 3l - 9 = 0 \] \[ 3L - 3l = 9 \] Divisons par 3 : \[ L - l = 3 \quad \text{(Équation 1)} \]
Deuxième condition :
Après modification : - Nouvelle longueur : \(L + 5\) - Nouvelle largeur : \(l - 3\)
L’aire augmente de \(16 \, \mathrm{m}^{2}\) : \[ (L + 5)(l - 3) = L \times l + 16 \]
Développons cette équation : \[ L \times l - 3L + 5l - 15 = L \times l + 16 \]
Simplifions en annulant \(L \times l\) des deux côtés : \[ -3L + 5l - 15 = 16 \] \[ -3L + 5l = 31 \quad \text{(Équation 2)} \]
Nous avons maintenant le système suivant : \[ \begin{cases} L - l = 3 & \text{(Équation 1)} \\ -3L + 5l = 31 & \text{(Équation 2)} \end{cases} \]
Méthode de substitution :
De l’Équation 1 : \[ L = l + 3 \]
Substituons \(L\) dans l’Équation 2 : \[ -3(l + 3) + 5l = 31 \] Développons : \[ -3l - 9 + 5l = 31 \] \[ 2l - 9 = 31 \] Ajoutons 9 des deux côtés : \[ 2l = 40 \] Divisons par 2 : \[ l = 20 \, \mathrm{m} \]
Maintenant, trouvons \(L\) : \[ L = l + 3 = 20 + 3 = 23 \, \mathrm{m} \]
Première condition : \[ (L - 3)(l + 3) = (23 - 3)(20 + 3) = 20 \times 23 = 460 \] \[ L \times l = 23 \times 20 = 460 \] L’aire reste inchangée.
Deuxième condition : \[ (L + 5)(l - 3) = (23 + 5)(20 - 3) = 28 \times 17 = 476 \] \[ L \times l + 16 = 460 + 16 = 476 \] L’aire augmente de \(16 \, \mathrm{m}^{2}\).
Les solutions vérifient bien les conditions données.
Les dimensions initiales du rectangle sont : - Longueur : \(23 \, \mathrm{m}\) - Largeur : \(20 \, \mathrm{m}\)