Résoudre algébriquement les systèmes d’équations suivants :
\[ \left\{ \begin{aligned} \dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{12} &= \dfrac{7}{14} \\ \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} &= \dfrac{4}{8} \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} x + y &= -\dfrac{9}{4} \\ 2x + 3y &= -\dfrac{27}{4} \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} \dfrac{5x - 3}{4} - \dfrac{3x - 19}{4} &= 2 + \dfrac{3y + x}{6} \\ \dfrac{9x - 7}{8} - \dfrac{4x - 5y}{16} &= \dfrac{4x + y - 9}{4} \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} \dfrac{15x + 8y}{8} &= 45 - \dfrac{1}{8} \\ \dfrac{25x - 12y}{25} &= 10 - \dfrac{19}{25} \end{aligned} \right. \]
Système 1 : x = 3 et y = 3/2.
Système 2 : x = 0 et y = –9/4.
Système 3 : x = 39/2 et y = 17.
Système 4 : x = 81/5 et y = 29/2.
Nous allons résoudre chacun des quatre systèmes d’équations pas à pas.
────────────────────────────── Système 1 :
Équations : (1) x/8 + y/12 = 7/14
(2) x/3 – 1/2 = 4/8
Tout d’abord, simplifions les fractions. • Dans (1), 7/14 se simplifie en 1/2. On a donc : x/8 + y/12 = 1/2.
Pour se débarrasser des dénominateurs dans (1), on multiplie toute l’équation par le PPCM de 8 et 12. Le plus petit commun multiple de 8 et 12 est 24. • Multiplions (1) par 24 : 24 · (x/8) + 24 · (y/12) = 24 · (1/2) → 3x + 2y = 12 (1′)
Pour (2), simplifions aussi les fractions. • On a 4/8 qui se simplifie en 1/2. L’équation (2) devient : x/3 – 1/2 = 1/2. • Ajoutons 1/2 des deux côtés : x/3 = 1/2 + 1/2 = 1. • Multipliant par 3, on obtient : x = 3.
La valeur de x étant connue, on remplace dans (1′) : 3 × 3 + 2y
= 12
9 + 2y = 12
2y = 12 – 9 = 3 → y = 3/2.
Solution du système 1 : x = 3 et y = 3/2.
────────────────────────────── Système 2 :
Équations : (1) x + y = –9/4
(2) 2x + 3y = –27/4
À partir de (1), on peut exprimer x en fonction de y : x = –9/4 – y.
Substituons cette expression dans (2) : 2(–9/4 – y) + 3y = –27/4. • Développons : –18/4 – 2y + 3y = –27/4. • Simplifions : –18/4 + y = –27/4. • Isolons y : y = –27/4 + 18/4 = –9/4.
On retrouve x en utilisant (1) : x + (–9/4) = –9/4 donc x = 0.
Solution du système 2 : x = 0 et y = –9/4.
────────────────────────────── Système 3 :
Équations : (1) [(5x – 3) / 4] – [(3x – 19) / 4] = 2 + (3y +
x)/6
(2) [(9x – 7) / 8] – [(4x – 5y) / 16] = (4x + y – 9) / 4
Première équation :
Comme les deux termes de gauche ont le même dénominateur 4, on peut les mettre sous une seule fraction : [(5x – 3) – (3x – 19)] / 4 = [5x – 3 – 3x + 19] / 4 = (2x + 16)/4. On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 2 : (2x + 16)/4 = (x + 8)/2. L’équation (1) devient : (x + 8)/2 = 2 + (3y + x)/6.
Pour éliminer les fractions, multiplions toute l’équation par 6 (le PPCM de 2 et 6) : 6 · [(x + 8)/2] = 6 · 2 + 6 · [(3y + x)/6] → 3(x + 8) = 12 + (3y + x). Développons le côté gauche : 3x + 24 = 12 + x + 3y.
Réorganisons l’équation pour isoler les inconnues : 3x + 24 –
12 – x – 3y = 0
→ 2x + 12 – 3y = 0
Tableau final : 2x – 3y = –12. (1′)
Deuxième équation :
On écrit : [(9x – 7) / 8] – [(4x – 5y) / 16] = (4x + y – 9) / 4. Pour éliminer les dénominateurs, multiplions l’équation par 16 (le PPCM de 8, 16 et 4) : 16 · (9x – 7)/8 – 16 · (4x – 5y)/16 = 16 · (4x + y – 9)/4.
Calculons chaque terme : • 16 · (9x – 7)/8 = 2(9x – 7) = 18x – 14. • 16 · (4x – 5y)/16 = 4x – 5y. • 16 · (4x + y – 9)/4 = 4(4x + y – 9) = 16x + 4y – 36.
L’équation devient : (18x – 14) – (4x – 5y) = 16x + 4y – 36. Développons le côté gauche : 18x – 14 – 4x + 5y = 14x + 5y – 14. Ainsi : 14x + 5y – 14 = 16x + 4y – 36.
Pour simplifier, ramenons tous les termes d’un côté : 14x + 5y
– 14 – 16x – 4y + 36 = 0
→ (14x – 16x) + (5y – 4y) + (–14 + 36) = 0
→ –2x + y + 22 = 0. Réécrivons : y – 2x = –22 ou y = 2x –
22. (2′)
Résolution du système :
Nous avons désormais : (1′) 2x – 3y = –12
(2′) y = 2x – 22.
Remplaçons y dans (1′) : 2x – 3(2x – 22) = –12. Développons :
2x – 6x + 66 = –12
→ –4x + 66 = –12. Isolons x : –4x = –12 – 66 = –78
→ x = (–78)/(–4) = 78/4 = 39/2.
Pour y, utilisons (2′) : y = 2*(39/2) – 22 = 39 – 22 = 17.
Solution du système 3 : x = 39/2 et y = 17.
────────────────────────────── Système 4 :
Équations : (1) (15x + 8y)/8 = 45 – 1/8
(2) (25x – 12y)/25 = 10 – 19/25
Pour (1), écrivons le côté droit avec un dénominateur commun. 45 = 45 · (8/8) = 360/8, donc : 45 – 1/8 = (360 – 1)/8 = 359/8. L’équation devient : (15x + 8y)/8 = 359/8. En multipliant par 8, on obtient : 15x + 8y = 359. (1′)
Pour (2), écrivons le côté droit de même. 10 = 10 · (25/25) = 250/25, ainsi : 10 – 19/25 = (250 – 19)/25 = 231/25. L’équation devient : (25x – 12y)/25 = 231/25. Multipliant par 25, on obtient : 25x – 12y = 231. (2′)
Nous avons donc le système : (1′) 15x + 8y = 359
(2′) 25x – 12y = 231
Pour résoudre, éliminons y.
Multiplions (1′) par 3 et (2′) par 2 afin d’avoir des
coefficients opposés pour y : • 3 · (15x + 8y) = 45x + 24y = 3 · 359 =
1077
• 2 · (25x – 12y) = 50x – 24y = 2 · 231 = 462
Additionnons ces deux équations : (45x + 50x) + (24y – 24y) = 1077 + 462 → 95x = 1539. D’où : x = 1539/95. On peut simplifier : 95 = 5 × 19 et 1539 = 19 × 81 (puisque 19 × 81 = 1539), ainsi x = 81/5.
Pour trouver y, remplaçons x dans (1′) par exemple :
15(81/5) + 8y = 359. Calculons : 15(81/5) = (15/5)81 =
381 = 243. L’équation devient : 243 + 8y = 359
8y = 359 – 243 = 116
→ y = 116/8 = 29/2.
Solution du système 4 : x = 81/5 et y = 29/2.
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
Chaque système a été résolu en éliminant les dénominateurs, en simplifiant les équations puis en utilisant la substitution ou l’élimination afin d’isoler et déterminer les valeurs de x et y.