Résoudre algébriquement les systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} \dfrac{x + 20}{2} + \dfrac{3}{2} y = \dfrac{3x - 50}{2} - (y + 15) \\ x - y = 29 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{x + 2}{4} - \dfrac{y - 2}{12} = \dfrac{5}{4} \\ 3x - y = 7 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{y} = \dfrac{1}{xy} \\ \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{7}{xy} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{5y - x}{3} = 5 \\ \dfrac{4y + 3x}{4} = 2y - \dfrac{1}{4} \end{cases} \]
Système 1 : x = 15 et y = –14.
Système 2 : y = 3x – 7 (famille de solutions).
Système 3 : x = 3 et y = 2.
Système 4 : x = 5 et y = 4.
Nous allons résoudre chacun des systèmes pas à pas.
───────────────────────────── Système 1 : (1) (x + 20)/2 + (3/2)y = (3x – 50)/2 – (y + 15) (2) x – y = 29
Dans l’équation (1), pour éliminer le dénominateur 2, multiplions toute l’équation par 2 : x + 20 + 3y = 3x – 50 – 2(y + 15).
Développons le terme –2(y + 15) : –2(y + 15) = –2y – 30. L’équation devient : x + 20 + 3y = 3x – 50 – 2y – 30.
Simplifions le côté droit : 3x – 50 – 2y – 30 = 3x – 2y – 80. L’équation est donc : x + 3y + 20 = 3x – 2y – 80.
Ramenons tous les termes du même côté : x + 3y + 20 – 3x + 2y + 80 = 0 (–2x) + 5y + 100 = 0.
Isolons 5y : 5y = 2x – 100 donc y = (2/5)x – 20.
Utilisons maintenant l’équation (2) qui dit x – y = 29. Remplaçons y par son expression : x – [(2/5)x – 20] = 29. Simplifions : x – (2/5)x + 20 = 29 ⟹ (3/5)x = 9. Pour trouver x, multiplions par 5 puis divisons par 3 : x = (9 × 5)/3 = 15.
Pour trouver y, remplaçons x dans y = (2/5)x – 20 : y = (2/5)×15 – 20 = 6 – 20 = –14.
Réponse du système 1 : x = 15 et y = –14.
───────────────────────────── Système 2 : (1) (x + 2)/4 – (y – 2)/12 = 5/4 (2) 3x – y = 7
Pour éliminer les dénominateurs dans (1), multiplions toute l’équation par 12 (le PPCM de 4 et 12) : 12 × [(x + 2)/4] – 12 × [(y – 2)/12] = 12 × (5/4). Cela donne : 3(x + 2) – (y – 2) = 15.
Développons : 3x + 6 – y + 2 = 15 ⟹ 3x – y + 8 = 15.
Soustrayons 8 des deux côtés : 3x – y = 15 – 8 ⟹ 3x – y = 7. On remarque que cette équation est identique à l’équation (2).
Comme les deux équations ne font qu’exprimer la même relation, le système possède une famille de solutions paramétrées. Nous pouvons, par exemple, exprimer y en fonction de x à partir de l’équation 3x – y = 7 :
y = 3x – 7.
Réponse du système 2 : Pour tout nombre réel x, y = 3x – 7.
───────────────────────────── Système 3 : (1) 5/x – 3/y = 1/(xy) (2) 2/x + 1/y = 7/(xy)
Pour simplifier ces équations, remarquons que x et y apparaissent dans les dénominateurs. Une astuce est de multiplier chaque équation par le produit xy (en admettant que x et y ≠ 0).
Pour l’équation (1), multiplions par xy : xy × (5/x) – xy × (3/y) = xy × [1/(xy)] Ce qui donne : 5y – 3x = 1.
Pour l’équation (2), multiplions par xy : xy × (2/x) + xy × (1/y) = xy × [7/(xy)] Ce qui donne : 2y + x = 7.
Nous obtenons ainsi un système linéaire en x et y : (1’) 5y – 3x = 1 (2’) x + 2y = 7 (équation réécrite)
Exprimons x à partir de (2’) : x = 7 – 2y.
Remplaçons x dans (1’) : 5y – 3(7 – 2y) = 1. Développons : 5y – 21 + 6y = 1 ⟹ 11y – 21 = 1. Ajoutons 21 des deux côtés : 11y = 22 ⟹ y = 2.
Trouvons x : x = 7 – 2y = 7 – 2×2 = 7 – 4 = 3.
Vérifions rapidement que x et y ne sont pas nuls (ce qui est nécessaire en raison des dénominateurs).
Réponse du système 3 : x = 3 et y = 2.
───────────────────────────── Système 4 : (1) (5y – x)/3 = 5 (2) (4y + 3x)/4 = 2y – 1/4
Pour l’équation (1), multiplions par 3 : 5y – x = 15 ⟹ Isolons x : x = 5y – 15.
Passons à l’équation (2). Multiplions d’abord par 4 pour éliminer le dénominateur : 4y + 3x = 4(2y – 1/4) ⟹ 4y + 3x = 8y – 1.
Isolons 3x : 3x = 8y – 1 – 4y = 4y – 1 ⟹ x = (4y – 1)/3.
Nous avons deux expressions pour x : x = 5y – 15 et x = (4y – 1)/3. Egalisons-les : 5y – 15 = (4y – 1)/3. Multiplions ensuite par 3 : 15y – 45 = 4y – 1. Isolons y : 15y – 4y = –1 + 45 ⟹ 11y = 44 ⟹ y = 4.
Enfin, calculons x : x = 5y – 15 = 5×4 – 15 = 20 – 15 = 5.
Réponse du système 4 : x = 5 et y = 4.
───────────────────────────── Récapitulatif des solutions :