Résoudre algébriquement les systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{5} - \dfrac{3y}{4} = 6 \\ \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{11}{2} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = 2y \\ 3x + 2y = 24 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{2} = -\dfrac{1}{6} \\ \dfrac{3x}{5} + \dfrac{y}{4} = -\dfrac{7}{3} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y = 30 \\ x = \dfrac{2}{3}y \end{cases} \]
Solution résumée :
Nous allons résoudre chacun des quatre systèmes d’équations étape par étape.
───────────────────────────── 1. Système
(x/5) – (3y/4) = 6
(x/6) + (y/4) = 11/2
Première étape : éliminer les fractions en multipliant chaque équation par un dénominateur commun.
• Dans la première équation, les dénominateurs sont 5 et 4. Le plus
petit commun multiple (PPCM) de 5 et 4 est 20.
– Multiplions chaque terme par 20 :
20·(x/5) – 20·(3y/4) = 20·6
Ce qui donne : 4x – 15y = 120 (1)
• Dans la deuxième équation, les dénominateurs sont 6 et 4. Le PPCM
de 6 et 4 est 12.
– Multiplions chaque terme par 12 :
12·(x/6) + 12·(y/4) = 12·(11/2)
Ce qui donne : 2x + 3y = 66 (2)
Maintenant, nous avons le système suivant :
(1) 4x – 15y = 120
(2) 2x + 3y = 66
Deuxième étape : résoudre le système. Par exemple, on peut exprimer x
en fonction de y à partir de l’équation (2).
– Équation (2) : 2x = 66 – 3y
– Donc x = (66 – 3y) / 2
Troisième étape : remplacer x dans (1).
– Remplaçons dans (1) :
4·[(66 – 3y)/2] – 15y = 120
– Simplifions :
2(66 – 3y) – 15y = 120
132 – 6y – 15y = 120
132 – 21y = 120
Quatrième étape : isoler y.
– Soustrayons 132 de chaque côté :
–21y = 120 – 132 = –12
– Divisons par –21 :
y = (–12)/(–21) = 12/21 = 4/7
Cinquième étape : calculer x en utilisant x = (66 – 3y) / 2.
– Remplaçons y = 4/7 :
x = (66 – 3·(4/7)) / 2
= (66 – 12/7) / 2
= ((66·7 – 12) / 7) / 2
= ((462 – 12) / 7) / 2
= (450/7) / 2 = 450/14 = 225/7
La solution du premier système est donc :
x = 225/7 et y = 4/7.
───────────────────────────── 2. Système
x = 2y
3x + 2y = 24
Ici, la première équation donne directement x en fonction de y.
• On a x = 2y.
Remplaçons x = 2y dans la deuxième équation :
3(2y) + 2y = 24
6y + 2y = 24
8y = 24
y = 24/8 = 3
Maintenant, calculons x :
x = 2y = 2 × 3 = 6
La solution du deuxième système est :
x = 6 et y = 3.
───────────────────────────── 3. Système
(x/3) – (y/2) = –1/6
(3x/5) + (y/4) = –7/3
Première étape : éliminer les fractions en multipliant par les dénominateurs communs.
• Pour la première équation, les dénominateurs sont 3 et 2. Leur PPCM
est 6.
– Multiplions par 6 :
6·(x/3) – 6·(y/2) = 6·(–1/6)
Ce qui donne : 2x – 3y = –1 (1)
• Pour la deuxième équation, les dénominateurs sont 5 et 4. Le PPCM
est 20.
– Multiplions par 20 :
20·(3x/5) + 20·(y/4) = 20·(–7/3)
Calculons chaque terme :
20·(3x/5) = 12x, 20·(y/4) = 5y
Et 20·(–7/3) = –140/3
Donc on obtient : 12x + 5y = –140/3 (2)
Deuxième étape : exprimer x en fonction de y à partir de (1).
– De (1) : 2x = –1 + 3y donc x = (–1 + 3y)/2
Troisième étape : substituer x dans (2).
– Remplaçons dans (2) :
12·[(–1 + 3y)/2] + 5y = –140/3
Simplifions :
6(–1 + 3y) + 5y = –140/3
Développons : –6 + 18y + 5y = –140/3
–6 + 23y = –140/3
Quatrième étape : isoler y.
– Ajoutons 6 aux deux côtés :
23y = –140/3 + 6
Pour additionner, exprimons 6 avec le dénominateur 3 : 6 = 18/3
Donc 23y = (–140 + 18)/3 = –122/3
– Divisons par 23 :
y = (–122/3) / 23 = –122/(3×23) = –122/69
(Il n’est pas toujours nécessaire de simplifier davantage si le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun.)
Cinquième étape : calculer x en utilisant x = (–1 + 3y)/2.
– Remplaçons y = –122/69 :
x = [–1 + 3·(–122/69)] / 2
= [–1 – 366/69] / 2
Pour écrire –1 sous la même forme, remarquons que –1 = –69/69 :
x = [–69/69 – 366/69] / 2 = (–435/69) / 2
= –435/(69×2) = –435/138
Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par 3 :
435 ÷ 3 = 145 et 138 ÷ 3 = 46, donc x = –145/46
La solution du troisième système est donc :
x = –145/46 et y = –122/69.
───────────────────────────── 4. Système
x + y = 30
x = (2/3)y
Dans ce système, on plus encore a déjà x en fonction de y.
Première étape : substituer x dans x + y = 30.
– Remplaçons x par (2/3)y :
(2/3)y + y = 30
– Pour additionner, exprimons y comme (3/3)y :
(2/3)y + (3/3)y = (5/3)y = 30
Deuxième étape : isoler y.
– Multiplions chaque côté par 3 pour éliminer le dénominateur :
5y = 30 × 3 = 90
– Divisons par 5 :
y = 90/5 = 18
Troisième étape : calculer x.
– x = (2/3)y = (2/3)×18 = 12
La solution du quatrième système est :
x = 12 et y = 18.
───────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
Chaque étape a été développée afin que vous puissiez suivre la démarche pas à pas.