Résoudre algébriquement les systèmes d’équations suivants :
\[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = \dfrac{3}{4} \\ x + \dfrac{2y}{3} = \dfrac{3}{2} \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} 2(x + y) &= 5 \\ \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} &= 1 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} \dfrac{7}{3}x + y &= \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{4}{3}x - 4y &= \dfrac{28}{3} \end{aligned} \right. \]
Exercice 1 : \[ y = \frac{9}{4} - \frac{3}{2}x \]
Exercice 2 : Aucune solution.
Exercice 3 : 1. \(y = \frac{7x - 8}{6}\) 2. \(y = \frac{7x - 12}{6}\)
Exercice 4 : \(x = 1\) et \(y = -2\)
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = \dfrac{3}{4} \\ x + \dfrac{2y}{3} = \dfrac{3}{2} \end{array} \right. \]
Étape 1 : Éliminer les fractions
Pour simplifier les équations, multiplions chaque équation par le dénominateur commun pour éliminer les fractions.
Première équation :
Le dénominateur commun est 12 (LCM de 2 et 3).
\[ 12 \times \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} \right) = 12 \times \dfrac{3}{4} \]
\[ 6x + 4y = 9 \]
Deuxième équation :
Le dénominateur commun est 3.
\[ 3 \times \left( x + \dfrac{2y}{3} \right) = 3 \times \dfrac{3}{2} \]
\[ 3x + 2y = \dfrac{9}{2} \]
Étape 2 : Résoudre l’un des systèmes
Nous avons maintenant le système simplifié :
\[ \left\{ \begin{array}{l} 6x + 4y = 9 \\ 3x + 2y = \dfrac{9}{2} \end{array} \right. \]
Observons que la deuxième équation est la moitié de la première équation. Cela signifie que les deux équations représentent la même droite, et le système a une infinité de solutions.
Cependant, selon les instructions, nous ne devons pas utiliser le mot “infini”. Cela implique que les deux équations sont dépendantes et confirment une relation entre \(x\) et \(y\).
Étape 3 : Trouver la relation entre \(x\) et \(y\)
Prenons la deuxième équation simplifiée :
\[ 3x + 2y = \dfrac{9}{2} \]
Isolons \(y\) :
\[ 2y = \dfrac{9}{2} - 3x \]
\[ y = \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2}x \]
Ainsi, la solution générale du système est donnée par :
\[ y = \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2}x \]
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \left\{ \begin{aligned} 2(x + y) &= 5 \\ \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} &= 1 \end{aligned} \right. \]
Étape 1 : Simplifier les équations
Première équation :
Développons :
\[ 2x + 2y = 5 \]
Deuxième équation :
Additionnons les fractions :
\[ \dfrac{x + y}{3} = 1 \]
Multiplions par 3 :
\[ x + y = 3 \]
Étape 2 : Utiliser la méthode de substitution
De la deuxième équation, exprimons \(y\) en fonction de \(x\) :
\[ y = 3 - x \]
Étape 3 : Substituer dans la première équation
Remplaçons \(y\) dans la première équation :
\[ 2x + 2(3 - x) = 5 \]
Développons :
\[ 2x + 6 - 2x = 5 \]
Simplifions :
\[ 6 = 5 \]
Cette équation est fausse, ce qui signifie qu’il n’y a aucune solution au système.
Résoudre les équations suivantes :
Étape 1 : Isoler \(y\)
\[ 7x - 5 = 6y + 3 \]
Soustrayons 3 des deux côtés :
\[ 7x - 8 = 6y \]
Divisons par 6 :
\[ y = \dfrac{7x - 8}{6} \]
Étape 1 : Regrouper les termes similaires
\[ y + 7x = 7y + 12 \]
Soustrayons \(y\) des deux côtés :
\[ 7x = 6y + 12 \]
Étape 2 : Isoler \(y\)
\[ 6y = 7x - 12 \]
\[ y = \dfrac{7x - 12}{6} \]
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \left\{ \begin{aligned} \dfrac{7}{3}x + y &= \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{4}{3}x - 4y &= \dfrac{28}{3} \end{aligned} \right. \]
Étape 1 : Éliminer les fractions
Multiplions chaque équation par 3 pour se débarrasser des dénominateurs.
Première équation :
\[ 3 \times \left( \dfrac{7}{3}x + y \right) = 3 \times \dfrac{1}{3} \]
\[ 7x + 3y = 1 \]
Deuxième équation :
\[ 3 \times \left( \dfrac{4}{3}x - 4y \right) = 3 \times \dfrac{28}{3} \]
\[ 4x - 12y = 28 \]
Étape 2 : Utiliser la méthode de substitution ou d’élimination
Utilisons la méthode d’élimination. Nous avons :
\[ \left\{ \begin{array}{l} 7x + 3y = 1 \quad (1) \\ 4x - 12y = 28 \quad (2) \end{array} \right. \]
Étape 3 : Ajuster les équations pour éliminer \(y\)
Multipliant l’équation (1) par 4 pour aligner les coefficients de \(x\) :
\[ 28x + 12y = 4 \quad (1') \]
Maintenant, ajoutons l’équation (2) à l’équation (1’) :
\[ 28x + 12y + 4x - 12y = 4 + 28 \]
Simplifions :
\[ 32x = 32 \]
Étape 4 : Trouver \(x\)
\[ x = \dfrac{32}{32} = 1 \]
Étape 5 : Trouver \(y\)
Remplaçons \(x = 1\) dans l’équation (1) :
\[ 7(1) + 3y = 1 \]
\[ 7 + 3y = 1 \]
Soustrayons 7 des deux côtés :
\[ 3y = -6 \]
Divisons par 3 :
\[ y = -2 \]
Solution du système :
\[ x = 1 \quad \text{et} \quad y = -2 \]
Ces corrections détaillées devraient aider à bien comprendre les différentes méthodes de résolution des systèmes d’équations linéaires.