Résoudre algébriquement les systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} 2x - 0{,}5y = 0{,}4 \\ 1{,}2x + 3y = 6 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + \dfrac{2}{3}y = 7 \\ x - y = -3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4x - 3y - 10 = 0 \\ 3x + 4y + 30 = 0 \end{cases} \]
Solutions des exercices :
\[ \begin{cases} 2x - 0{,}5y = 0{,}4 \\ 1{,}2x + 3y = 6 \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier les équations
Pour faciliter le calcul, commençons par éliminer les virgules en multipliant chaque équation par 10 :
\[ \begin{cases} 20x - 5y = 4 \quad \text{(Équation 1)}\\ 12x + 30y = 60 \quad \text{(Équation 2)} \end{cases} \]
Étape 2 : Utiliser la méthode de substitution ou d’élimination
Nous allons utiliser la méthode d’élimination. Pour cela, alignons les coefficients d’une des variables.
Prenons la variable \(y\). Multiplions l’Équation 1 par 6 pour que les coefficients de \(y\) deviennent \(-30\) et \(+30\) :
\[ \begin{cases} 120x - 30y = 24 \quad \text{(Équation 1 modifiée)}\\ 12x + 30y = 60 \quad \text{(Équation 2)} \end{cases} \]
Étape 3 : Additionner les deux équations
En ajoutant les deux équations, le terme en \(y\) s’annule :
\[ 120x - 30y + 12x + 30y = 24 + 60 \\ 132x = 84 \]
Étape 4 : Trouver la valeur de \(x\)
Divisons par 132 pour isoler \(x\) :
\[ x = \frac{84}{132} = \frac{7}{11} \]
Étape 5 : Trouver la valeur de \(y\)
Remplaçons \(x = \frac{7}{11}\) dans l’une des équations originales. Utilisons l’Équation 1 simplifiée :
\[ 20x - 5y = 4 \\ 20 \left( \frac{7}{11} \right) - 5y = 4 \\ \frac{140}{11} - 5y = 4 \\ -5y = 4 - \frac{140}{11} \\ -5y = \frac{44}{11} - \frac{140}{11} \\ -5y = -\frac{96}{11} \\ y = \frac{96}{55} \]
Solution du système :
\[ x = \frac{7}{11}, \quad y = \frac{96}{55} \]
\[ \begin{cases} x + \dfrac{2}{3}y = 7 \\ x - y = -3 \end{cases} \]
Étape 1 : Isoler une variable
Isolons \(x\) dans la deuxième équation :
\[ x = y - 3 \]
Étape 2 : Substituer \(x\) dans la première équation
Remplaçons \(x\) par \(y - 3\) dans la première équation :
\[ (y - 3) + \dfrac{2}{3}y = 7 \]
Étape 3 : Simplifier l’équation
Additionnons les termes en \(y\) :
\[ y - 3 + \dfrac{2}{3}y = 7 \\ \left(1 + \dfrac{2}{3}\right)y - 3 = 7 \\ \dfrac{5}{3}y = 10 \\ y = \dfrac{10 \times 3}{5} \\ y = 6 \]
Étape 4 : Trouver \(x\)
Utilisons \(x = y - 3\) :
\[ x = 6 - 3 = 3 \]
Solution du système :
\[ x = 3, \quad y = 6 \]
\[ \begin{cases} 4x - 3y - 10 = 0 \\ 3x + 4y + 30 = 0 \end{cases} \]
Étape 1 : Réécrire les équations
Réarrangeons les équations pour isoler les termes constants :
\[ \begin{cases} 4x - 3y = 10 \quad \text{(Équation 1)}\\ 3x + 4y = -30 \quad \text{(Équation 2)} \end{cases} \]
Étape 2 : Utiliser la méthode d’élimination
Nous allons éliminer une variable en ajustant les coefficients. Multiplions l’Équation 1 par 4 et l’Équation 2 par 3 :
\[ \begin{cases} 16x - 12y = 40 \quad \text{(Équation 1 modifiée)}\\ 9x + 12y = -90 \quad \text{(Équation 2 modifiée)} \end{cases} \]
Étape 3 : Additionner les deux équations
En additionnant les deux équations, les termes en \(y\) s’annulent :
\[ 16x - 12y + 9x + 12y = 40 - 90 \\ 25x = -50 \\ x = -2 \]
Étape 4 : Trouver \(y\)
Remplaçons \(x = -2\) dans l’une des équations originales. Utilisons l’Équation 1 :
\[ 4(-2) - 3y = 10 \\ -8 - 3y = 10 \\ -3y = 18 \\ y = -6 \]
Solution du système :
\[ x = -2, \quad y = -6 \]
\[ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \]
\[ x + 2y = 22 \]
Étape 1 : Simplifier l’équation (a)
Multipliions l’équation (a) par 6 pour éliminer les fractions :
\[ 6 \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \right) = 6 \times 5 \\ 3x + 2y = 30 \quad \text{(Équation 1)} \]
Étape 2 : Utiliser la méthode de substitution ou d’élimination
Nous allons utiliser la méthode d’élimination. Comparons l’Équation 1 et l’équation (b) :
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 30 \quad \text{(Équation 1)}\\ x + 2y = 22 \quad \text{(Équation 2)} \end{cases} \]
Soustrayons l’Équation 2 de l’Équation 1 :
\[ 3x + 2y - (x + 2y) = 30 - 22 \\ 2x = 8 \\ x = 4 \]
Étape 3 : Trouver \(y\)
Remplaçons \(x = 4\) dans l’Équation 2 :
\[ 4 + 2y = 22 \\ 2y = 18 \\ y = 9 \]
Solution du système :
\[ x = 4, \quad y = 9 \]