Résoudre les systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} 3x = 12 \\ 3y - x = 17 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 0{,}2\,x + 0{,}3\,y = 0{,}3 \\ 0{,}6\,x + 0{,}2\,y = 1{,}6 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x + 2y - 21 = 5y \\ 2y + x - 6 = -2x \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + 3y = 1{,}5 \\ 3x - 4y = -2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4x + 4y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases} \]
Exercice 1 : \[ x = 4,\ y = 7 \]
Exercice 2 : \[ x = 3,\ y = -1 \]
Exercice 3 : \[ x = 4,\ y = -3 \]
Exercice 4 : \[ x = 0,\ y = 0{,}5 \]
Exercice 5 : Aucune solution.
Exercice 6 : Infinité de solutions, telles que \(x + y = 1\).
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} 3x = 12 \\ 3y - x = 17 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la première équation pour \(x\)
La première équation est simple à résoudre :
\[ 3x = 12 \\ \Rightarrow x = \frac{12}{3} \\ \Rightarrow x = 4 \]
Étape 2 : Substituer la valeur de \(x\) dans la deuxième équation
Maintenant que nous connaissons la valeur de \(x\), nous pouvons la remplacer dans la deuxième équation pour trouver \(y\) :
\[ 3y - x = 17 \\ 3y - 4 = 17 \quad (\text{Remplaçons } x \text{ par } 4) \\ 3y = 17 + 4 \\ 3y = 21 \\ y = \frac{21}{3} \\ y = 7 \]
Solution :
\[ x = 4 \\ y = 7 \]
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} 0{,}2\,x + 0{,}3\,y = 0{,}3 \\ 0{,}6\,x + 0{,}2\,y = 1{,}6 \end{cases} \]
Étape 1 : Éliminer les virgules en multipliant par 10
Pour simplifier les calculs, multiplions chaque équation par 10 :
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 6x + 2y = 16 \end{cases} \]
Étape 2 : Utiliser la méthode d’élimination
Pour éliminer \(y\), multiplions la première équation par 2 et la deuxième par -3 :
\[ \begin{cases} (2x + 3y) \times 2 \Rightarrow 4x + 6y = 6 \\ (6x + 2y) \times (-3) \Rightarrow -18x - 6y = -48 \end{cases} \]
Étape 3 : Additionner les deux équations
\[ 4x + 6y - 18x - 6y = 6 - 48 \\ -14x = -42 \\ x = \frac{-42}{-14} \\ x = 3 \]
Étape 4 : Trouver \(y\) en remplaçant \(x\) dans la première équation simplifiée
\[ 2x + 3y = 3 \\ 2 \times 3 + 3y = 3 \\ 6 + 3y = 3 \\ 3y = 3 - 6 \\ 3y = -3 \\ y = \frac{-3}{3} \\ y = -1 \]
Solution :
\[ x = 3 \\ y = -1 \]
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} 3x + 2y - 21 = 5y \\ 2y + x - 6 = -2x \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier les équations
Réécrivons chaque équation pour isoler les termes :
Pour la première équation :
\[ 3x + 2y - 21 = 5y \\ 3x - 21 = 5y - 2y \\ 3x - 21 = 3y \\ 3x - 3y = 21 \\ x - y = 7 \quad (\text{en divisant par } 3) \]
Pour la deuxième équation :
\[ 2y + x - 6 = -2x \\ x + 2y - 6 = -2x \\ x + 2x + 2y = 6 \\ 3x + 2y = 6 \]
Étape 2 : Résoudre le système simplifié
Maintenant, le système simplifié est :
\[ \begin{cases} x - y = 7 \\ 3x + 2y = 6 \end{cases} \]
Étape 3 : Utiliser la méthode de substitution
Résolvons la première équation pour \(x\) :
\[ x = y + 7 \]
Étape 4 : Substituer \(x\) dans la deuxième équation
\[ 3(y + 7) + 2y = 6 \\ 3y + 21 + 2y = 6 \\ 5y + 21 = 6 \\ 5y = 6 - 21 \\ 5y = -15 \\ y = \frac{-15}{5} \\ y = -3 \]
Étape 5 : Trouver \(x\) en remplaçant \(y\)
\[ x = y + 7 \\ x = -3 + 7 \\ x = 4 \]
Solution :
\[ x = 4 \\ y = -3 \]
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} x + 3y = 1{,}5 \\ 3x - 4y = -2 \end{cases} \]
Étape 1 : Utiliser la méthode d’élimination
Pour éliminer \(x\), multiplions la première équation par 3 :
\[ 3(x + 3y) = 3 \times 1{,}5 \\ 3x + 9y = 4{,}5 \]
Le système devient :
\[ \begin{cases} 3x + 9y = 4{,}5 \\ 3x - 4y = -2 \end{cases} \]
Étape 2 : Soustraire les équations pour éliminer \(x\)
\[ (3x + 9y) - (3x - 4y) = 4{,}5 - (-2) \\ 3x + 9y - 3x + 4y = 6{,}5 \\ 13y = 6{,}5 \\ y = \frac{6{,}5}{13} \\ y = 0{,}5 \]
Étape 3 : Trouver \(x\) en remplaçant \(y\) dans la première équation
\[ x + 3y = 1{,}5 \\ x + 3 \times 0{,}5 = 1{,}5 \\ x + 1{,}5 = 1{,}5 \\ x = 1{,}5 - 1{,}5 \\ x = 0 \]
Solution :
\[ x = 0 \\ y = 0{,}5 \]
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier la deuxième équation
Observons que la deuxième équation peut être simplifiée en divisant par 2 :
\[ 2x + 2y = 8 \\ \Rightarrow x + y = 4 \]
Étape 2 : Comparer avec la première équation
Nous avons maintenant :
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
Ces deux équations demandent que \(x + y\) soit égal à 2 et en même temps égal à 4, ce qui est impossible.
Conclusion :
Il n’y a aucune solution à ce système. Les droites représentées par ces équations sont parallèles et ne se croisent pas.
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} 4x + 4y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier la première équation
Divisons la première équation par 4 pour la simplifier :
\[ 4x + 4y = 4 \\ \Rightarrow x + y = 1 \]
Étape 2 : Comparer avec la deuxième équation
Nous avons maintenant :
\[ \begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases} \]
Les deux équations sont identiques, ce qui signifie qu’il y a une infinité de solutions. Toutes les paires \((x, y)\) qui satisfont \(x + y = 1\) sont solutions.
Exemple de solution :
\[ x = 0 \Rightarrow y = 1 \\ x = 1 \Rightarrow y = 0 \\ x = 0,5 \Rightarrow y = 0,5 \]
Chaque combinaison qui ajoute jusqu’à 1 est une solution valide.