Indiquez la méthode la plus simple pour résoudre les systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 2x + y = 4 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = 3y \\ 2x - y = 4 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = 2y + 3 \\ x = y - 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x + 3y = \frac{1}{3} \\ x - 3y = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = 3 \\ 25x - 2y = 34 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = 3x + 1 \end{cases} \]
Réponses : 1) x = 9/7, y = 10/7
2) x = 12/5, y = 4/5
3) x = –13, y = –8
4) x = 20/9, y = –7/27
5) x = 8/5, y = 3
6) x = –5, y = –14
Voici la correction détaillée pour chacune des parties en expliquant la méthode la plus simple à utiliser :
────────────────────────────── 1) Système : 3x – 2y = 1
2x + y = 4
Méthode : La substitution.
Étapes : 1. Dans la deuxième équation, isolez y : 2x + y = 4 ⇒ y = 4
– 2x. 2. Remplacez y dans la première équation par son expression
:
3x – 2(4 – 2x) = 1. 3. Développez et simplifiez :
3x – 8 + 4x = 1 ⇒ 7x – 8 = 1. 4. Ajoutez 8 des deux côtés :
7x = 9 ⇒ x = 9/7. 5. Remplacez x dans l’expression de y :
y = 4 – 2(9/7) = 4 – 18/7 = (28/7 – 18/7) = 10/7.
Conclusion : La solution est x = 9/7 et y = 10/7.
────────────────────────────── 2) Système : x = 3y
2x – y = 4
Méthode : La substitution (x est déjà exprimé en fonction de y).
Étapes : 1. Remplacez x par 3y dans la deuxième équation :
2(3y) – y = 4. 2. Calculez :
6y – y = 4 ⇒ 5y = 4 ⇒ y = 4/5. 3. Trouvez x en utilisant x = 3y
:
x = 3 × (4/5) = 12/5.
Conclusion : La solution est x = 12/5 et y = 4/5.
────────────────────────────── 3) Système : x = 2y + 3
x = y – 5
Méthode : La substitution (les deux équations expriment x).
Étapes : 1. Comme x est exprimé de deux façons, égalisez les deux
expressions :
2y + 3 = y – 5. 2. Isolez y :
2y – y = –5 – 3 ⇒ y = –8. 3. Remplacez y dans l’une des équations pour
trouver x :
x = 2(–8) + 3 = –16 + 3 = –13.
Conclusion : La solution est x = –13 et y = –8.
────────────────────────────── 4) Système : (1/2)x + 3y = 1/3
x – 3y = 3
Méthode : La substitution ou l’élimination (ici, l’élimination est rapide).
Méthode par élimination : 1. Multipliez la première équation par 2
pour éliminer la fraction :
x + 6y = 2/3. 2. Le système devient alors :
(i) x + 6y = 2/3
(ii) x – 3y = 3. 3. Soustrayez (ii) de (i) pour éliminer x :
(x + 6y) – (x – 3y) = (2/3 – 3) ⇒ 9y = 2/3 – 9/3 ⇒ 9y = –7/3. 4.
Résolvez pour y :
y = (–7/3) / 9 = –7/27. 5. Remplacez y dans la deuxième équation pour
trouver x :
x – 3(–7/27) = 3 ⇒ x + 21/27 = 3 ⇒ x + 7/9 = 3. 6. Soustrayez 7/9 des
deux côtés :
x = 3 – 7/9 = (27/9 – 7/9) = 20/9.
Conclusion : La solution est x = 20/9 et y = –7/27.
────────────────────────────── 5) Système : y = 3
25x – 2y = 34
Méthode : Substitution directe (puisque y est déjà connu).
Étapes : 1. Remplacez y par 3 dans la deuxième équation :
25x – 2(3) = 34 ⇒ 25x – 6 = 34. 2. Ajoutez 6 des deux côtés :
25x = 40. 3. Divisez par 25 :
x = 40/25 = 8/5.
Conclusion : La solution est x = 8/5 et y = 3.
────────────────────────────── 6) Système : y = 2x – 4
y = 3x + 1
Méthode : La substitution (égaliser les deux expressions de y).
Étapes : 1. Égalisez les deux expressions de y :
2x – 4 = 3x + 1. 2. Isolez x :
2x – 3x = 1 + 4 ⇒ –x = 5 ⇒ x = –5. 3. Remplacez x dans l’une des
équations pour trouver y :
y = 2(–5) – 4 = –10 – 4 = –14,
ou y = 3(–5) + 1 = –15 + 1 = –14.
Conclusion : La solution est x = –5 et y = –14.
────────────────────────────── Récapitulatif des méthodes utilisées :
• Pour les systèmes où une variable est facilement isolée (ex. x = 3y ou y = 3) : la méthode de substitution est la plus simple. • Pour les systèmes où les deux équations donnent directement l’expression d’une même variable (ex. x = 2y + 3 et x = y – 5), on égalise ces expressions. • Pour certains systèmes, l’élimination peut permettre d’annuler une variable lorsque les coefficients opposés apparaissent dans les deux équations (voir le système 4).
Chaque méthode consiste à réduire le système à une équation à une inconnue, puis à remonter pour trouver l’autre variable.
Ces explications pas à pas permettent de bien comprendre comment résoudre de tels systèmes d’équations en choisissant la méthode qui simplifie le calcul.