Exercice 25

Résoudre graphiquement les systèmes d’équations suivants :

\[ \begin{cases} 2x - y = -3 \\ 2x - y = 3 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = 3y - 1 \\ -2x + 6y = 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x - 3y = 3 \\ -\dfrac{1}{2}x = 2 + 2y \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 3x - \dfrac{1}{2}y = 3 \\ 6x - 6y = y \end{cases} \]

\[ \begin{cases} \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{5}y = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}y = 0 \\ 2x - 3y = -8 \end{cases} \]

Réponse

Système 1 : Aucune solution.
Système 2 : Toutes les solutions de x = 3y – 1.
Système 3 : (0 ; –1).
Système 4 : (7/6 ; 1).
Système 5 : (3 ; 5).
Système 6 : (2 ; 4).

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacun des systèmes pas à pas en détaillant la démarche.

────────────────────────────── Système 1 :   2x – y = –3
  2x – y = 3

1. On remarque que les deux équations ont le même côté gauche, c’est-à-dire la même expression (2x – y), mais des nombres différents à droite (–3 et 3).
   
2. Si on avait une solution (x, y) commune, alors 2x – y devrait être simultanément égal à –3 et à 3.
   
3. En soustrayant la première équation de la deuxième, on obtient :
     (2x – y) – (2x – y) = 3 – (–3)
     0 = 6
     Ce résultat est impossible.  4. Ainsi, les droites représentées par ces équations ne se rencontrent pas sur le plan.

Conclusion du système 1 : Le système ne possède aucune solution.

────────────────────────────── Système 2 :   x = 3y – 1
  –2x + 6y = 2

1. La première équation est déjà sous forme « x = … ». On l’utilise pour substituer x dans la deuxième équation.
   
2. Remplaçons x par 3y – 1 dans –2x + 6y = 2 :
     –2(3y – 1) + 6y = 2
   
3. Développons :
     –6y + 2 + 6y = 2
   
4. Les termes –6y et +6y se simplifient, il reste :
     2 = 2
   
5. Cette égalité vraie ne fournit aucune information supplémentaire sur y. Cela signifie que, pour chaque valeur de y, il existe une valeur correspondante de x donnée par x = 3y – 1.

Conclusion du système 2 : Le système admet de très nombreuses solutions correspondant à tous les points de la droite d’équation x = 3y – 1.

────────────────────────────── Système 3 :   x – 3y = 3
  –(1/2)x = 2 + 2y

1. La première équation permet d’exprimer x en fonction de y :
     x = 3 + 3y.
2. Pour la deuxième équation, éliminons la fraction en multipliant par 2 de part et d’autre :
     –x = 4 + 4y
     On peut ensuite isoler x en multipliant par –1 :
     x = –4 – 4y.
3. Maintenant, on a deux expressions pour x :
     3 + 3y = –4 – 4y.
4. Regroupons les termes en y :
     3y + 4y = –4 – 3
     7y = –7
5. Divisons par 7 :
     y = –1.
6. En remplaçant y dans l’une des expressions pour x, par exemple x = 3 + 3y :
     x = 3 + 3(–1) = 3 – 3 = 0.

Conclusion du système 3 : Le système admet la solution (0 ; –1).

────────────────────────────── Système 4 :   3x – (1/2)y = 3
  6x – 6y = y

1. Pour la deuxième équation, apportons y du côté gauche :
     6x – 6y – y = 0 ⟹ 6x – 7y = 0.
2. Exprimons x en fonction de y dans cette équation :
     6x = 7y ⟹ x = (7/6)y.
3. Substituons cette expression dans la première équation :
     3(7/6)y – (1/2)y = 3.
4. Calculons :
     (21/6)y – (1/2)y = 3.   On remarque que (1/2)y = (3/6)y, donc
     (21/6 – 3/6)y = (18/6)y = 3y.
5. Ainsi, on obtient :
     3y = 3 ⟹ y = 1.
6. En remplaçant y = 1 dans x = (7/6)y :
     x = 7/6.

Conclusion du système 4 : Le système admet la solution (7/6 ; 1).

────────────────────────────── Système 5 :   (1/3)x + (1/5)y = 2
  2x – y = 1

1. Pour se débarrasser des fractions dans la première équation, multiplions-la par 15 (le plus petit commun multiple de 3 et 5) :
     15×[(1/3)x] + 15×[(1/5)y] = 15×2
     Ce qui donne : 5x + 3y = 30.
2. Dans la deuxième équation, isolons y :
     2x – y = 1 ⟹ –y = 1 – 2x ⟹ y = 2x – 1.
3. Remplaçons y dans l’équation obtenue précédemment :
     5x + 3(2x – 1) = 30.
4. Développons :
     5x + 6x – 3 = 30.
5. Regroupons les termes :
     11x – 3 = 30 ⟹ 11x = 33.
6. Divisons par 11 :
     x = 3.
7. Pour trouver y, remplaçons x dans y = 2x – 1 :
     y = 2×3 – 1 = 6 – 1 = 5.

Conclusion du système 5 : Le système admet la solution (3 ; 5).

────────────────────────────── Système 6 :   (1/2)x – (1/4)y = 0
  2x – 3y = –8

1. Pour la première équation, multiplions par 4 afin d’éliminer les fractions :
     4×[(1/2)x] – 4×[(1/4)y] = 4×0
     Ce qui donne : 2x – y = 0.
2. Isolons y dans cette équation :
     y = 2x.
3. Remplaçons y dans la deuxième équation :
     2x – 3(2x) = –8.
4. Développons :
     2x – 6x = –8 ⟹ –4x = –8.
5. Divisons par –4 :
     x = 2.
6. En remplaçant x dans y = 2x :
     y = 2×2 = 4.

Conclusion du système 6 : Le système admet la solution (2 ; 4).

────────────────────────────── Récapitulatif des solutions obtenues : 1. Aucune solution.
2. Toutes les solutions de la droite x = 3y – 1 (les deux équations représentent la même droite).
3. (0 ; –1)
4. (7/6 ; 1)
5. (3 ; 5)
6. (2 ; 4)

Chaque démarche a été effectuée étape par étape afin de comprendre le raisonnement derrière la résolution graphique de ces systèmes.