Exercice 24

Résoudre graphiquement les systèmes d’équations suivants :

1. \[ \begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ 3x - y = 6 \end{cases} \]

2. \[ \begin{cases} -3x + y = 2 \\ x - 5y = -10 \end{cases} \]

3. \[ \begin{cases} x - 4y = -3 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases} \]

4. \[ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ x - y = 3 \end{cases} \]

5. \[ \begin{cases} \frac{1}{2}x + 3y = 4 \\ -2x + y = -3 \end{cases} \]

6. \[ \begin{cases} 2x - 3y = 3 \\ 5x - 2y = 2 \end{cases} \]

Réponse

Les solutions des systèmes sont :
1) (2, 0)
2) (0, 2)
3) (1, 1)
4) (0, –3)
5) (2, 1)
6) (0, –1)

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre graphiquement chaque système d’équations en déterminant le point d’intersection des droites représentées par les équations. Pour chaque système, nous expliquerons les étapes afin de trouver les coordonnées (x, y) qui satisfont les deux équations.

────────────────────────────── 1) Système
  2x – 3y = 4
  3x – y = 6

Étape 1 : Exprimer y à partir de la deuxième équation.
  De 3x – y = 6, on peut écrire :
   y = 3x – 6

Étape 2 : Remplacer y dans la première équation.
  Substituons y = 3x – 6 dans 2x – 3y = 4 :
   2x – 3(3x – 6) = 4
   2x – 9x + 18 = 4

Étape 3 : Résoudre pour x.
  2x – 9x = –7x, donc :
   –7x + 18 = 4
   –7x = 4 – 18
   –7x = –14
   x = (–14) / (–7) = 2

Étape 4 : Calculer y avec la valeur trouvée.
  y = 3(2) – 6 = 6 – 6 = 0

Solution du système 1 : (2, 0)

────────────────────────────── 2) Système
  –3x + y = 2
  x – 5y = –10

Étape 1 : Exprimer y en fonction de x dans la première équation.
  –3x + y = 2 ⟹ y = 3x + 2

Étape 2 : Remplacer y dans la deuxième équation.
  Substituons y = 3x + 2 dans x – 5y = –10 :
   x – 5(3x + 2) = –10
   x – 15x – 10 = –10

Étape 3 : Simplifier et résoudre pour x.
  x – 15x = –14x, donc :
   –14x – 10 = –10
  Ajouter 10 des deux côtés :
   –14x = 0
   x = 0

Étape 4 : Calculer y avec x = 0.
  y = 3(0) + 2 = 2

Solution du système 2 : (0, 2)

────────────────────────────── 3) Système
  x – 4y = –3
  3x – 2y = 1

Étape 1 : Isoler x dans la première équation.
  x – 4y = –3 ⟹ x = 4y – 3

Étape 2 : Remplacer x dans la deuxième équation.
  Substituons x = 4y – 3 dans 3x – 2y = 1 :
   3(4y – 3) – 2y = 1
   12y – 9 – 2y = 1

Étape 3 : Simplifier et résoudre pour y.
  12y – 2y = 10y, donc :
   10y – 9 = 1
   10y = 1 + 9
   10y = 10
   y = 1

Étape 4 : Calculer x avec y = 1.
  x = 4(1) – 3 = 4 – 3 = 1

Solution du système 3 : (1, 1)

────────────────────────────── 4) Système
  5x – y = 3
  x – y = 3

Étape 1 : On peut soustraire la deuxième équation de la première pour éliminer y.
  (5x – y) – (x – y) = 3 – 3
  5x – y – x + y = 0
  4x = 0

Étape 2 : Résoudre pour x.
  4x = 0 ⟹ x = 0

Étape 3 : Remplacer x dans l’une des équations pour trouver y.
  Utilisons x – y = 3 :
   0 – y = 3 ⟹ –y = 3 ⟹ y = –3

Solution du système 4 : (0, –3)

────────────────────────────── 5) Système
  (1/2)x + 3y = 4
  –2x + y = –3

Étape 1 : Pour simplifier, multiplions la première équation par 2.
  (1/2)x × 2 + 3y × 2 = 4 × 2
   x + 6y = 8

Étape 2 : Exprimer y dans la deuxième équation.
  –2x + y = –3 ⟹ y = 2x – 3

Étape 3 : Remplacer y dans x + 6y = 8.
  x + 6(2x – 3) = 8
   x + 12x – 18 = 8
   13x – 18 = 8

Étape 4 : Résoudre pour x.
  13x = 8 + 18
  13x = 26
  x = 26 / 13 = 2

Étape 5 : Déterminer y avec x = 2.
  y = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1

Solution du système 5 : (2, 1)

────────────────────────────── 6) Système
  2x – 3y = 3
  5x – 2y = 2

Étape 1 : Afin d’éliminer l’une des variables, nous cherchons des coefficients identiques pour y.
  Multiplions la première équation par 2 et la deuxième par 3 afin d’obtenir –6y dans les deux :
  Première équation × 2 : 4x – 6y = 6
  Deuxième équation × 3 : 15x – 6y = 6

Étape 2 : Soustraire la première nouvelle équation de la deuxième.
  (15x – 6y) – (4x – 6y) = 6 – 6
  15x – 6y – 4x + 6y = 0
  11x = 0

Étape 3 : Résoudre pour x.
  11x = 0 ⟹ x = 0

Étape 4 : Remplacer x dans l’une des équations originales (prenons 2x – 3y = 3).
  2(0) – 3y = 3
  – 3y = 3 ⟹ y = 3 / (–3) = –1

Solution du système 6 : (0, –1)

────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :

1. (2, 0)
   
2. (0, 2)
   
3. (1, 1)
   
4. (0, –3)
   
5. (2, 1)
   
6. (0, –1)

Ces résultats correspondent aux points d’intersection des droites représentées par chaque système d’équations.