La différence de deux nombres est 51. En faisant la division euclidienne de l’un par l’autre, on obtient 5 pour quotient, avec un reste de 3. Quels sont ces nombres ?
Les deux nombres sont 63 (le plus grand) et 12 (le plus petit).
Soit deux nombres que nous appellerons x (le plus grand) et y (le plus petit). Les informations du problème nous donnent deux conditions :
La différence des deux nombres est 51 : x − y = 51
La division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit donne un quotient de 5 et un reste de 3. Cela signifie que lorsque l’on divise x par y, on a : x = 5y + 3
Nous allons utiliser ces deux équations pour trouver x et y.
Étape 1 : Exprimer x en fonction de y
D’après la division euclidienne, nous avons déjà :
x = 5y + 3
Étape 2 : Remplacer x dans l’équation de la différence
Nous savons que :
x − y = 51
En remplaçant x par 5y + 3, on obtient :
(5y + 3) − y = 51
Étape 3 : Simplifier l’équation
Simplifions :
5y + 3 − y = 51
4y + 3 = 51
Étape 4 : Résoudre pour y
Isolons 4y :
4y = 51 − 3
4y = 48
Divisons ensuite par 4 :
y = 48 ÷ 4
y = 12
Étape 5 : Trouver x à partir de y
On utilise l’équation x = 5y + 3 :
x = 5 × 12 + 3
x = 60 + 3
x = 63
Vérification : - La différence x − y est bien 63 − 12 = 51. - La
division de 63 par 12 donne :
12 × 5 = 60, et le reste est 63 − 60 = 3.
Conclusion : Les deux nombres sont 63 (le plus grand) et 12 (le plus petit).