Deux personnes ont en tout 1166 fr. L’une dépense les trois septièmes de sa part, tandis que l’autre dépense les cinq huitièmes de la sienne. Il leur reste alors la même somme. Combien chaque personne possédait-elle avant ces dépenses ?
Réponse :
Nous allons résoudre ce problème étape par étape en utilisant des équations mathématiques simples.
Deux personnes ont en tout 1166 francs.
Après ces dépenses, il leur reste la même somme.
Nous devons déterminer combien chaque personne possédait initialement.
Nous avons donc : \[ x + y = 1166 \quad \text{(équation 1)} \]
Selon l’énoncé, les montants restants pour les deux personnes sont égaux : \[ \frac{4}{7}x = \frac{3}{8}y \quad \text{(équation 2)} \]
Nous avons maintenant deux équations avec deux inconnues :
Pour éliminer les fractions, multiplions chaque côté par 56 (le PPCM de 7 et 8) : \[ 56 \times \frac{4}{7}x = 56 \times \frac{3}{8}y \] \[ (56 \div 7) \times 4x = (56 \div 8) \times 3y \] \[ 8 \times 4x = 7 \times 3y \] \[ 32x = 21y \]
Nous pouvons exprimer \(y\) en fonction de \(x\) : \[ y = \frac{32}{21}x \quad \text{(équation 3)} \]
Remplaçons \(y\) par \(\frac{32}{21}x\) dans l’équation 1 : \[ x + \frac{32}{21}x = 1166 \] \[ \left(1 + \frac{32}{21}\right)x = 1166 \] \[ \frac{53}{21}x = 1166 \]
Pour trouver \(x\), multiplions les deux côtés par \(\frac{21}{53}\) : \[ x = 1166 \times \frac{21}{53} \] \[ x = 462 \]
Utilisons l’équation 3 pour trouver \(y\) : \[ y = \frac{32}{21} \times 462 \] \[ y = 704 \]
[As above.]