Exercice 18
Sur un fil de \(60\,\text{cm}\) de
long, on enfile \(50\) perles pour
faire un collier. Certaines perles ont une longueur de \(7\,\text{mm}\), d’autres de \(12\,\text{mm}\). On laisse \(10\,\text{cm}\) pour le nœud. Combien
a-t-on enfilé de perles de chaque sorte ?
Réponse
Pour fabriquer le collier, il faut 20 petites perles
de 7 mm et 30 grandes perles de 12 mm.
Corrigé détaillé
Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer combien de perles
de chaque taille ont été enfilées sur le fil pour fabriquer le collier.
Voici les étapes détaillées pour arriver à la solution.
Données du problème
- Longueur totale du fil : \(60\,\text{cm}\)
- Nombre total de perles : \(50\)
- Longueur réservée pour le nœud : \(10\,\text{cm}\)
- Longueur des perles :
- Petite perle : \(7\,\text{mm}\)
- Grande perle : \(12\,\text{mm}\)
Étape 1 : Convertir
les unités en millimètres
Pour simplifier les calculs, convertissons toutes les longueurs en
millimètres (mm).
- Longueur totale du fil : \[
60\,\text{cm} = 600\,\text{mm}
\]
- Longueur réservée pour le nœud : \[
10\,\text{cm} = 100\,\text{mm}
\]
- Longueur disponible pour les perles : \[
\text{Longueur totale} - \text{Longueur pour le nœud} = 600\,\text{mm} -
100\,\text{mm} = 500\,\text{mm}
\]
Étape 2 : Définir les
variables
- Soit \(x\) le nombre de petites
perles (7 mm).
- Soit \(y\) le nombre de grandes
perles (12 mm).
Nous savons que le nombre total de perles est de 50 : \[
x + y = 50 \quad \text{(Équation 1)}
\]
Étape 3 : Établir
l’équation de la longueur
La somme des longueurs des perles doit être égale à la longueur
disponible pour les perles, c’est-à-dire 500 mm : \[
7x + 12y = 500 \quad \text{(Équation 2)}
\]
Étape 4 : Résoudre le
système d’équations
Nous avons le système suivant : \[
\begin{cases}
x + y = 50 \quad \text{(Équation 1)} \\
7x + 12y = 500 \quad \text{(Équation 2)}
\end{cases}
\]
Méthode de substitution :
- Isoler \(x\) dans
l’Équation 1 : \[
x = 50 - y
\]
- Substituer \(x\) dans
l’Équation 2 : \[
7(50 - y) + 12y = 500
\]
- Développer l’équation : \[
350 - 7y + 12y = 500
\]
- Simplifier les termes en \(y\) : \[
350 + 5y = 500
\]
- Isoler \(y\) :
\[
5y = 500 - 350 \\
5y = 150 \\
y = \frac{150}{5} \\
y = 30
\]
- Trouver \(x\) en utilisant
la valeur de \(y\) : \[
x = 50 - y = 50 - 30 = 20
\]
Conclusion
- Nombre de petites perles (7 mm) : \(20\)
- Nombre de grandes perles (12 mm) : \(30\)
Ainsi, pour fabriquer le collier, 20 petites perles
et 30 grandes perles ont été enfilées sur le fil.