Exercice 17

Trouver deux nombres, sachant que l’un est supérieur de 12 à l’autre et que la différence de leurs carrés est de 504.

Réponse

Les deux nombres recherchés sont 15 et 27.

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, suivons ces étapes :

1. Définissons nos variables. Soit x le plus petit nombre et y le plus grand nombre. On sait que le plus grand nombre est 12 de plus que le plus petit, donc nous pouvons écrire :
     y = x + 12

2. On nous indique que la différence de leurs carrés est égale à 504. Mathématiquement, cela donne :
     y² - x² = 504

3. Rappelons la formule de la différence de carrés, qui se factorise en :
     y² - x² = (y - x)(y + x)
     Ici, y - x = 12 (car y = x + 12). Nous avons donc :
     12 × (y + x) = 504

4. Pour trouver la somme y + x, on résout l’équation :
     y + x = 504 ÷ 12 = 42

5. Maintenant, nous avons deux équations :
     (i) y = x + 12
     (ii) y + x = 42
     Remplaçons y dans la deuxième équation par x + 12 :
     x + 12 + x = 42
     2x + 12 = 42

6. Résolvons cette équation pour x :
     2x = 42 - 12
     2x = 30
     x = 30 ÷ 2 = 15

7. Maintenant que nous avons trouvé x, calculons y à l’aide de l’équation y = x + 12 :
     y = 15 + 12 = 27

8. Vérification :
     Calculons la différence de leurs carrés :
     27² - 15² = 729 - 225 = 504
     La condition est bien vérifiée.

Ainsi, les deux nombres recherchés sont 15 et 27.