Exercice 16

Partager \(1\,500\,\text{fr}\) entre trois personnes de manière que la deuxième personne reçoive \(150\,\text{fr}\) de plus que la première et que la troisième personne reçoive \(30\,\text{fr}\) de plus que la deuxième.

Réponse

Les parts sont : - A : 390 fr - B : 540 fr - C : 570 fr

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème de partage de \(1\,500\,\text{fr}\) entre trois personnes en respectant les conditions données, suivons les étapes ci-dessous.

Énoncé du problème

Nous devons partager \(1\,500\,\text{fr}\) entre trois personnes \(A\), \(B\) et \(C\) selon les règles suivantes :

1. La deuxième personne \(B\) reçoit \(150\,\text{fr}\) de plus que la première personne \(A\).
2. La troisième personne \(C\) reçoit \(30\,\text{fr}\) de plus que la deuxième personne \(B\).

Étape 1 : Définir les variables

Commençons par définir les variables représentant ce que chaque personne reçoit :

• Soit \(x\) le montant reçu par la première personne \(A\).
• Alors, la deuxième personne \(B\) reçoit \(x + 150\) francs.
• La troisième personne \(C\) reçoit \((x + 150) + 30 = x + 180\) francs.

Étape 2 : Écrire l’équation totale

La somme des montants reçus par les trois personnes doit être égale à \(1\,500\,\text{fr}\). Nous pouvons donc écrire l’équation suivante :

\[ x + (x + 150) + (x + 180) = 1\,500 \]

Étape 3 : Simplifier l’équation

Regroupons les termes similaires :

\[ x + x + 150 + x + 180 = 1\,500 \]

\[ 3x + 330 = 1\,500 \]

Étape 4 : Résoudre l’équation pour \(x\)

Isolons \(x\) en suivant les étapes ci-dessous :

1. Soustrayons \(330\) des deux côtés de l’équation :

\[ 3x = 1\,500 - 330 \]

\[ 3x = 1\,170 \]

2. Divisons les deux côtés par \(3\) pour trouver la valeur de \(x\) :

\[ x = \frac{1\,170}{3} \]

\[ x = 390 \]

Ainsi, la première personne \(A\) reçoit \(390\,\text{fr}\).

Étape 5 : Calculer les montants pour \(B\) et \(C\)

Maintenant que nous connaissons \(x = 390\), calculons les montants pour les personnes \(B\) et \(C\) :

• Pour la deuxième personne \(B\) :

\[ B = x + 150 = 390 + 150 = 540\,\text{fr} \]

• Pour la troisième personne \(C\) :

\[ C = x + 180 = 390 + 180 = 570\,\text{fr} \]

Étape 6 : Vérifier la somme totale

Enfin, vérifions que la somme des montants correspond bien à \(1\,500\,\text{fr}\) :

\[ 390 + 540 + 570 = 1\,500 \]

\[ 1\,500 = 1\,500 \]

La vérification confirme que les montants sont corrects.

Conclusion

Le partage de \(1\,500\,\text{fr}\) respecte les conditions données de la manière suivante :

• Première personne \(A\) : \(390\,\text{fr}\)
• Deuxième personne \(B\) : \(540\,\text{fr}\)
• Troisième personne \(C\) : \(570\,\text{fr}\)