Question :
Marie pense à deux nombres \(a\) et
\(b\) tels que :
Quels sont ces deux nombres ?
Les deux nombres sont : \[ a = \frac{-1 + \sqrt{61}}{2} \] et \[ b = \frac{31 - \sqrt{61}}{2} \]
Correction détaillée :
Nous devons déterminer deux nombres \(a\) et \(b\) qui satisfont les conditions suivantes :
Étape 1 : Exprimer \(b\) en fonction de \(a\)
À partir de la deuxième condition, nous pouvons exprimer \(b\) en fonction de \(a\) :
\[ b = a^2 \]
Étape 2 : Substituer \(b\) dans la première équation
En remplaçant \(b\) par \(a^2\) dans la première équation \(a + b = 15\), nous obtenons :
\[ a + a^2 = 15 \]
Étape 3 : Réorganiser l’équation
Mettons l’équation sous la forme standard d’une équation quadratique :
\[ a^2 + a - 15 = 0 \]
Étape 4 : Résoudre l’équation quadratique
Pour résoudre l’équation quadratique \(a^2 + a - 15 = 0\), nous utilisons la formule du discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
où \(a = 1\), \(b = 1\) et \(c = -15\).
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-15) = 1 + 60 = 61 \]
Comme \(\Delta > 0\), l’équation admet deux solutions réelles distinctes :
\[ a = \frac{ -b \pm \sqrt{\Delta} }{ 2a } = \frac{ -1 \pm \sqrt{61} }{ 2 } \]
Les solutions sont donc :
\[ a_1 = \frac{ -1 + \sqrt{61} }{ 2 } \quad \text{et} \quad a_2 = \frac{ -1 - \sqrt{61} }{ 2 } \]
Étape 5 : Vérifier la condition \(a \times b > 0\)
Nous devons déterminer quelle(s) solution(s) satisfait/s cette condition.
Puisque \(b = a^2\), \(b\) est toujours positif ou nul.
Pour que \(a \times b > 0\), il faut que \(a > 0\) (car \(b \geq 0\)).
Examinons les deux solutions :
\[ a_1 = \frac{ -1 + \sqrt{61} }{ 2 } \]
Approximation :
\[ \sqrt{61} \approx 7,81 \\ a_1 \approx \frac{ -1 + 7,81 }{ 2 } = \frac{6,81}{2} \approx 3,405 \]
Comme \(a_1 > 0\), cette solution est valide.
\[ a_2 = \frac{ -1 - \sqrt{61} }{ 2 } \]
Approximation :
\[ a_2 \approx \frac{ -1 - 7,81 }{ 2 } = \frac{ -8,81 }{ 2 } \approx -4,405 \]
Comme \(a_2 < 0\), cette solution ne satisfait pas la condition \(a \times b > 0\).
Étape 6 : Déterminer \(b\) correspondant à \(a_1\)
En utilisant la première solution \(a_1\), calculons \(b\) :
\[ b = a_1^2 = \left( \frac{ -1 + \sqrt{61} }{ 2 } \right)^2 \]
Développons cette expression :
\[ b = \frac{ (-1)^2 + 2 \times (-1) \times \sqrt{61} + (\sqrt{61})^2 }{ 4 } = \frac{1 - 2\sqrt{61} + 61}{4} = \frac{62 - 2\sqrt{61}}{4} = \frac{31 - \sqrt{61}}{2} \]
Conclusion :
Les deux nombres que Marie a pensés sont :
\[ a = \frac{ -1 + \sqrt{61} }{ 2 } \quad \text{et} \quad b = \frac{31 - \sqrt{61}}{2} \]
Ces valeurs satisfont toutes les conditions données.