Question : Résous les systèmes suivants selon la méthode de ton choix.
\[ \begin{cases} 3a + 4b = 22 \\ 8 + 5b = 53 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4x - 2y = 10 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} (m - n)^2 = 225 \\ 2m = n + 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{y}{2} + 3z = 18 \\ y + \frac{z}{3} = 12 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} c + d = 8 \\ 2c + 2d = 16 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2{,}5p + 4q = 60 \\ p = q - 15 \end{cases} \]
Réponses succinctes :
Voici la correction détaillée pour chacun des systèmes :
────────────────────────────── Exercice a)
Nous devons résoudre le système : (1) 3a + 4b = 22
(2) 8 + 5b = 53
Commencez par la deuxième équation (2) qui ne contient qu’une
seule inconnue. Soustrayez 8 des deux côtés pour isoler 5b : 8 + 5b =
53
⟹ 5b = 53 – 8
⟹ 5b = 45
Divisez ensuite par 5 pour trouver b : b = 45 / 5
⟹ b = 9
Remplacez b = 9 dans la première équation (1) : 3a + 4 × 9 =
22
⟹ 3a + 36 = 22
Isolez 3a en soustrayant 36 des deux côtés : 3a = 22 – 36
⟹ 3a = –14
Divisez par 3 pour obtenir a : a = –14 / 3
Solution du système a) : a = –14/3 et b = 9.
────────────────────────────── Exercice b)
Nous avons le système : (1) 4x – 2y = 10
(2) 2x + 3y = 7
Méthode par élimination :
Afin d’éliminer x, on peut multiplier la deuxième équation (2)
par 2 afin d’obtenir le même coefficient pour x que dans (1). Ainsi,
multiplier (2) par 2 donne : 2 × (2x + 3y) = 2 × 7
⟹ 4x + 6y = 14
On a maintenant : (1) 4x – 2y = 10
(2′) 4x + 6y = 14
Soustrayez (1) de (2′) pour éliminer x : (4x + 6y) – (4x – 2y)
= 14 – 10
⟹ 4x + 6y – 4x + 2y = 4
⟹ 8y = 4
Divisez par 8 : y = 4 / 8
⟹ y = 1/2
Remettez y = 1/2 dans l’une des équations, par exemple dans (2) :
2x + 3(1/2) = 7
⟹ 2x + 1.5 = 7
⟹ 2x = 7 – 1.5
⟹ 2x = 5.5
⟹ x = 5.5 / 2
⟹ x = 11/4
Solution du système b) : x = 11/4 et y = 1/2.
────────────────────────────── Exercice c)
Le système est : (1) (m – n)² = 225
(2) 2m = n + 5
Dans (1), pour lever le carré, on reconnaît que lorsque le carré
d’un nombre est égal à 225, l’expression entre parenthèses peut être 15
ou –15. Ainsi, deux cas se présentent : Cas 1 : m – n = 15
Cas 2 : m – n = –15
Pour chaque cas, utilisez l’équation (2) qui s’écrit : 2m = n +
5
⟹ n = 2m – 5
––––––––––––––––––––––––––– Cas 1 : m – n = 15
Remplacez n par 2m – 5 : m – (2m – 5) = 15
⟹ m – 2m + 5 = 15
⟹ –m + 5 = 15
Soustrayez 5 des deux côtés : –m = 10
⟹ m = –10
Puis, n = 2(–10) – 5 = –20 – 5 = –25
––––––––––––––––––––––––––– Cas 2 : m – n = –15
Avec n = 2m – 5, on a : m – (2m – 5) = –15
⟹ m – 2m + 5 = –15
⟹ –m + 5 = –15
Soustrayez 5 des deux côtés : –m = –20
⟹ m = 20
Puis, n = 2(20) – 5 = 40 – 5 = 35
Solution du système c) : deux solutions possibles – soit m = –10 et n = –25, soit m = 20 et n = 35.
────────────────────────────── Exercice d)
Nous étudions le système : (1) (y/2) + 3z = 18
(2) y + (z/3) = 12
L’idée est de se débarrasser des fractions en multipliant chaque équation par un nombre approprié.
Pour l’équation (1), multipliez par 2 pour éliminer la fraction
y/2 : 2 × [(y/2) + 3z] = 2 × 18
⟹ y + 6z = 36
Cette équation sera appelée (1′).
Pour l’équation (2), multipliez par 3 pour éliminer la fraction
z/3 : 3 × [y + (z/3)] = 3 × 12
⟹ 3y + z = 36
Cette équation sera appelée (2′).
On obtient ainsi le système : (1′) y + 6z = 36
(2′) 3y + z = 36
Exprimez y à partir de (1′) : y = 36 – 6z
Remplacez y dans (2′) : 3(36 – 6z) + z = 36
Développons : 108 – 18z + z = 36
⟹ 108 – 17z = 36
Isolez z : –17z = 36 – 108
⟹ –17z = –72
Divisez par –17 : z = (–72) / (–17)
⟹ z = 72/17
Remplacer z dans y = 36 – 6z : y = 36 – 6 × (72/17)
Calculons 6 × 72 = 432 : y = 36 – 432/17
Pour combiner, écrivez 36 sous forme de fraction avec dénominateur 17
: 36 = 612/17
y = (612 – 432) / 17
⟹ y = 180/17
Solution du système d) : y = 180/17 et z = 72/17.
────────────────────────────── Exercice e)
Le système est : (1) c + d = 8
(2) 2c + 2d = 16
On remarque que l’équation (2) est simplement le double de (1).
En effet, multiplier (1) par 2 donne : 2(c + d) = 2×8
⟹ 2c + 2d = 16 Ainsi, les deux équations sont équivalentes.
Par conséquent, toute paire (c, d) qui satisfait c + d = 8 est solution du système.
Solution du système e) : toutes les paires (c, d) vérifiant c + d = 8.
────────────────────────────── Exercice f)
Nous devons résoudre le système : (1) 2,5p + 4q = 60
(2) p = q – 15
Remplacez dans (1) p par (q – 15) : 2,5(q – 15) + 4q = 60
Développons : 2,5q – 2,5×15 + 4q = 60
Calcul de 2,5×15 : 2,5×15 = 37,5
Donc, 2,5q – 37,5 + 4q = 60
Regroupez les termes en q : (2,5q + 4q) – 37,5 = 60
⟹ 6,5q – 37,5 = 60
Isolez 6,5q en ajoutant 37,5 des deux côtés : 6,5q = 60 +
37,5
⟹ 6,5q = 97,5
Divisez par 6,5 : q = 97,5 / 6,5
Pour simplifier, multipliez numérateur et dénominateur par 10 : q =
975 / 65
On remarque que 65 × 15 = 975, donc : q = 15
Utilisez l’équation (2) pour déterminer p : p = q – 15 = 15 – 15 = 0
Solution du système f) : p = 0 et q = 15.
────────────────────────────── Résumé des solutions :
Chaque étape a été détaillée pour comprendre le raisonnement suivi.