Exercice 12

Question : Dans un système d’axes orthonormés, place les points suivants :

• \(P(0, 5)\)

• \(Q(12, 0)\)

• \(R(0, -4)\)

• \(S(-6, 0)\)

Construis les droites suivantes :

• \(l_{1}\) passant par les points \(P\) et \(Q\)

• \(l_{2}\) passant par les points \(Q\) et \(R\)

• \(l_{3}\) passant par les points \(R\) et \(S\)

• \(l_{4}\) passant par les points \(S\) et \(P\)

1. Les droites \(l_{1}\) et \(l_{3}\) se coupent-elles ?

2. Et les droites \(l_{2}\) et \(l_{4}\) ?

3. Trouve l’expression fonctionnelle des fonctions représentées par chacune des droites ; que peux-tu en déduire ?

Réponse

Les droites \(l_{1}\) et \(l_{3}\) se coupent en \((-36, 20)\), et \(l_{2}\) et \(l_{4}\) se rencontrent en \((-18, -10)\). Toutes les droites ont des pentes différentes, donc aucune n’est parallèle et chacune se coupe avec les autres en un point unique.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape.

a) Les droites \(l_{1}\) et \(l_{3}\) se coupent-elles ?

Étape 1 : Définir les droites \(l_{1}\) et \(l_{3}\)

• Droite \(l_{1}\) : Passe par les points \(P(0, 5)\) et \(Q(12, 0)\).
• Droite \(l_{3}\) : Passe par les points \(R(0, -4)\) et \(S(-6, 0)\).

Étape 2 : Trouver les équations des droites \(l_{1}\) et \(l_{3}\)

Pour déterminer si les droites se coupent, nous devons trouver leurs équations et voir si elles ont un point commun.

1. Équation de \(l_{1}\) :
   • Calculons le coefficient directeur \(m_{1}\) : \[ m_{1} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{0 - 5}{12 - 0} = \frac{-5}{12} \]
   • L’équation de la droite \(l_{1}\) passant par \(P(0, 5)\) est : \[ y = m_{1}x + b \Rightarrow y = \left( -\frac{5}{12} \right)x + 5 \]
2. Équation de \(l_{3}\) :
   • Calculons le coefficient directeur \(m_{3}\) : \[ m_{3} = \frac{y_S - y_R}{x_S - x_R} = \frac{0 - (-4)}{-6 - 0} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3} \]
   • L’équation de la droite \(l_{3}\) passant par \(R(0, -4)\) est : \[ y = m_{3}x + b \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x - 4 \]

Étape 3 : Vérifier s’il existe un point d’intersection

Pour déterminer si les droites se coupent, cherchons un point \((x, y)\) qui satisfait les deux équations.

\[ \begin{cases} y = -\frac{5}{12}x + 5 \\ y = -\frac{2}{3}x - 4 \end{cases} \]

Égalons les deux expressions de \(y\) :

\[ -\frac{5}{12}x + 5 = -\frac{2}{3}x - 4 \]

Résolvons cette équation pour \(x\) :

\[ -\frac{5}{12}x + \frac{2}{3}x = -4 - 5 \\ \left( -\frac{5}{12} + \frac{8}{12} \right)x = -9 \\ \frac{3}{12}x = -9 \\ \frac{1}{4}x = -9 \\ x = -9 \times 4 \\ x = -36 \]

Calculons maintenant \(y\) en remplaçant \(x = -36\) dans l’équation de \(l_{1}\) :

\[ y = -\frac{5}{12} \times (-36) + 5 = 15 + 5 = 20 \]

Le point d’intersection est donc \((-36, 20)\).

Conclusion : Les droites \(l_{1}\) et \(l_{3}\) se coupent en \((-36, 20)\).

b) Et les droites \(l_{2}\) et \(l_{4}\) ?

Étape 1 : Définir les droites \(l_{2}\) et \(l_{4}\)

• Droite \(l_{2}\) : Passe par les points \(Q(12, 0)\) et \(R(0, -4)\).
• Droite \(l_{4}\) : Passe par les points \(S(-6, 0)\) et \(P(0, 5)\).

Étape 2 : Trouver les équations des droites \(l_{2}\) et \(l_{4}\)

1. Équation de \(l_{2}\) :
   • Calculons le coefficient directeur \(m_{2}\) : \[ m_{2} = \frac{y_R - y_Q}{x_R - x_Q} = \frac{-4 - 0}{0 - 12} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3} \]
   • L’équation de la droite \(l_{2}\) passant par \(Q(12, 0)\) est : \[ y = \frac{1}{3}x + b \] Calculons \(b\) en remplaçant \(Q(12, 0)\) : \[ 0 = \frac{1}{3} \times 12 + b \Rightarrow 0 = 4 + b \Rightarrow b = -4 \] Donc, l’équation de \(l_{2}\) est : \[ y = \frac{1}{3}x - 4 \]
2. Équation de \(l_{4}\) :
   • Calculons le coefficient directeur \(m_{4}\) : \[ m_{4} = \frac{y_P - y_S}{x_P - x_S} = \frac{5 - 0}{0 - (-6)} = \frac{5}{6} \]
   • L’équation de la droite \(l_{4}\) passant par \(S(-6, 0)\) est : \[ y = \frac{5}{6}x + b \] Calculons \(b\) en remplaçant \(S(-6, 0)\) : \[ 0 = \frac{5}{6} \times (-6) + b \Rightarrow 0 = -5 + b \Rightarrow b = 5 \] Donc, l’équation de \(l_{4}\) est : \[ y = \frac{5}{6}x + 5 \]

Étape 3 : Vérifier s’il existe un point d’intersection

Cherchons un point \((x, y)\) qui satisfait les deux équations.

\[ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x - 4 \\ y = \frac{5}{6}x + 5 \end{cases} \]

Égalons les deux expressions de \(y\) :

\[ \frac{1}{3}x - 4 = \frac{5}{6}x + 5 \]

Résolvons cette équation pour \(x\) :

\[ \frac{1}{3}x - \frac{5}{6}x = 5 + 4 \\ \left( \frac{2}{6} - \frac{5}{6} \right)x = 9 \\ -\frac{3}{6}x = 9 \\ -\frac{1}{2}x = 9 \\ x = 9 \times (-2) \\ x = -18 \]

Calculons maintenant \(y\) en remplaçant \(x = -18\) dans l’équation de \(l_{2}\) :

\[ y = \frac{1}{3} \times (-18) - 4 = -6 - 4 = -10 \]

Le point d’intersection est donc \((-18, -10)\).

Conclusion : Les droites \(l_{2}\) et \(l_{4}\) se coupent en \((-18, -10)\).

c) Trouve l’expression fonctionnelle des fonctions représentées par chacune des droites ; que peux-tu en déduire ?

Étape 1 : Récapituler les équations des droites

1. Droite \(l_{1}\) : \[ y = -\frac{5}{12}x + 5 \]

2. Droite \(l_{2}\) : \[ y = \frac{1}{3}x - 4 \]

3. Droite \(l_{3}\) : \[ y = -\frac{2}{3}x - 4 \]

4. Droite \(l_{4}\) : \[ y = \frac{5}{6}x + 5 \]

Étape 2 : Analyser les pentes des droites

Le coefficient directeur \(m\) de chaque droite indique sa pente.

• \(l_{1}\) : \(m = -\frac{5}{12}\)
• \(l_{2}\) : \(m = \frac{1}{3}\)
• \(l_{3}\) : \(m = -\frac{2}{3}\)
• \(l_{4}\) : \(m = \frac{5}{6}\)

Étape 3 : Déduire les relations entre les droites

• Droites parallèles : Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

  Observons les coefficients :

  \[ -\frac{5}{12}, \quad \frac{1}{3}, \quad -\frac{2}{3}, \quad \frac{5}{6} \]

  Aucune paire de droites n’a le même coefficient directeur. Donc, aucune des droites \(l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}\) n’est parallèle à une autre.

• Droites sécantes : Comme nous avons déjà trouvé qu’il existe des points d’intersection distincts pour \(l_{1}\) et \(l_{3}\), ainsi que pour \(l_{2}\) et \(l_{4}\), cela confirme que toutes les droites se coupent en un point.

Conclusion générale :

Toutes les droites \(l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}\) ont des pentes différentes, ce qui signifie qu’elles ne sont parallèles aucune à aucune. Chaque paire de droites se coupe en un unique point, ce qui confirme qu’elles sont sécantes.