Exercice 11

Question :

1. Vérifie si le couple \((1,\ 2)\) est une solution du système suivant :

\[ \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - y = -1 \end{cases} \]

Justifie ta réponse.

2. Vérifie si les couples \((1,\ 2)\) et \((2,\ 0)\) sont des solutions du système suivant :

\[ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases} \]

Justifie ta réponse.

Réponse

Résumé de la correction :

1. Le couple \((1,\ 2)\) satisfait le premier système d’équations.

2. Les couples \((1,\ 2)\) et \((2,\ 0)\) satisfont le second système d’équations.

Toutes les vérifications confirment que les couples donnés sont solutions des systèmes correspondants.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

a. Vérification du couple \((1,\ 2)\) dans le système

Nous devons vérifier si le couple \((1,\ 2)\) satisfait les deux équations du système :

\[ \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - y = -1 \end{cases} \]

Étape 1 : Substituer les valeurs de \(x\) et \(y\) dans la première équation.

\[ 3x + 2y = 7 \\ 3 \times 1 + 2 \times 2 = 7 \\ 3 + 4 = 7 \\ 7 = 7 \]

La première équation est vérifiée puisque les deux côtés de l’équation sont égaux.

Étape 2 : Substituer les valeurs de \(x\) et \(y\) dans la deuxième équation.

\[ x - y = -1 \\ 1 - 2 = -1 \\ -1 = -1 \]

La deuxième équation est également vérifiée car les deux côtés de l’équation sont égaux.

Conclusion : Le couple \((1,\ 2)\) est une solution du système.

b. Vérification des couples \((1,\ 2)\) et \((2,\ 0)\) dans le système

Nous devons vérifier si les couples \((1,\ 2)\) et \((2,\ 0)\) satisfont les deux équations du système :

\[ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases} \]

Vérification du couple \((1,\ 2)\)

Étape 1 : Substituer les valeurs de \(x\) et \(y\) dans la première équation.

\[ 2x + y = 4 \\ 2 \times 1 + 2 = 4 \\ 2 + 2 = 4 \\ 4 = 4 \]

La première équation est vérifiée.

Étape 2 : Substituer les valeurs de \(x\) et \(y\) dans la deuxième équation.

\[ 4x + 2y = 8 \\ 4 \times 1 + 2 \times 2 = 8 \\ 4 + 4 = 8 \\ 8 = 8 \]

La deuxième équation est également vérifiée.

Conclusion : Le couple \((1,\ 2)\) est une solution du système.

Vérification du couple \((2,\ 0)\)

Étape 1 : Substituer les valeurs de \(x\) et \(y\) dans la première équation.

\[ 2x + y = 4 \\ 2 \times 2 + 0 = 4 \\ 4 + 0 = 4 \\ 4 = 4 \]

La première équation est vérifiée.

Étape 2 : Substituer les valeurs de \(x\) et \(y\) dans la deuxième équation.

\[ 4x + 2y = 8 \\ 4 \times 2 + 2 \times 0 = 8 \\ 8 + 0 = 8 \\ 8 = 8 \]

La deuxième équation est également vérifiée.

Conclusion : Le couple \((2,\ 0)\) est une solution du système.

Récapitulatif

• a. Le couple \((1,\ 2)\) satisfait les deux équations du premier système.
• b. Les couples \((1,\ 2)\) et \((2,\ 0)\) satisfont les deux équations du second système.

Ainsi, toutes les vérifications montrent que les couples donnés sont bien des solutions des systèmes correspondants.