Exercice 10

Résoudre les systèmes suivants :

1. \[ \begin{cases} 5a - 2(2b - c) + 5 = 2 \\ a + c + 2 = 2(b + 1) \\ 3a + 5b - 3c = -14 \end{cases} \]

2. \[ \begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ \frac{1}{2}x + 3y = \frac{11}{2} \\ \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}z = 6 \end{cases} \]

Réponse

Question 1 : \(a = -1\), \(b = 8\), \(c = 17\).

Question 2 : \(x = -1\), \(y = 2\), \(z = -3\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question 1

Résoudre le système suivant : \[ \begin{cases} 5a - 2(2b - c) + 5 = 2 \\ a + c + 2 = 2(b + 1) \\ 3a + 5b - 3c = -14 \end{cases} \]

Étape 1 : Simplifier les équations

Commençons par simplifier chaque équation pour faciliter la résolution.

1. Première équation : \[ 5a - 2(2b - c) + 5 = 2 \] Développons : \[ 5a - 4b + 2c + 5 = 2 \] Simplifions en regroupant les termes constants : \[ 5a - 4b + 2c = 2 - 5 \] \[ 5a - 4b + 2c = -3 \quad \text{(Équation 1)} \]

2. Deuxième équation : \[ a + c + 2 = 2(b + 1) \] Développons le membre de droite : \[ a + c + 2 = 2b + 2 \] Soustrayons 2 des deux côtés : \[ a + c = 2b \quad \text{(Équation 2)} \]

3. Troisième équation : \[ 3a + 5b - 3c = -14 \quad \text{(Équation 3)} \]

Étape 2 : Exprimer une variable en fonction des autres

À partir de l’Équation 2, exprimons \(a\) en fonction de \(b\) et \(c\) : \[ a = 2b - c \quad \text{(Équation 4)} \]

Étape 3 : Substituer dans les autres équations

Remplaçons \(a\) par \(2b - c\) dans l’Équation 1 et l’Équation 3.

1. Dans l’Équation 1 : \[ 5a - 4b + 2c = -3 \] Substituons \(a\) : \[ 5(2b - c) - 4b + 2c = -3 \] Développons : \[ 10b - 5c - 4b + 2c = -3 \] Regroupons les termes similaires : \[ (10b - 4b) + (-5c + 2c) = -3 \] \[ 6b - 3c = -3 \quad \text{(Équation 5)} \]

2. Dans l’Équation 3 : \[ 3a + 5b - 3c = -14 \] Substituons \(a\) : \[ 3(2b - c) + 5b - 3c = -14 \] Développons : \[ 6b - 3c + 5b - 3c = -14 \] Regroupons les termes similaires : \[ (6b + 5b) + (-3c - 3c) = -14 \] \[ 11b - 6c = -14 \quad \text{(Équation 6)} \]

Étape 4 : Résoudre le système de deux équations à deux inconnues

Nous avons maintenant les Équations 5 et 6 : \[ \begin{cases} 6b - 3c = -3 \quad \text{(Équation 5)} \\ 11b - 6c = -14 \quad \text{(Équation 6)} \end{cases} \]

Simplifions l’Équation 5 : Divisons chaque terme par 3 : \[ 2b - c = -1 \quad \text{(Équation 7)} \]

Résoudre l’Équation 7 pour \(c\) : \[ c = 2b + 1 \quad \text{(Équation 8)} \]

Substituons \(c\) dans l’Équation 6 : \[ 11b - 6(2b + 1) = -14 \] Développons : \[ 11b - 12b - 6 = -14 \] \[ - b - 6 = -14 \] Ajoutons 6 des deux côtés : \[ - b = -8 \] Multipliant par -1 : \[ b = 8 \]

Étape 5 : Trouver les autres variables

1. Trouver \(c\) en utilisant l’Équation 8 : \[ c = 2b + 1 = 2 \times 8 + 1 = 17 \]

2. Trouver \(a\) en utilisant l’Équation 4 : \[ a = 2b - c = 2 \times 8 - 17 = 16 - 17 = -1 \]

Conclusion

La solution du système est : \[ a = -1, \quad b = 8, \quad c = 17 \]

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Question 2

Résoudre le système suivant : \[ \begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ \frac{1}{2}x + 3y = \frac{11}{2} \\ \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}z = 6 \end{cases} \]

Étape 1 : Simplifier les équations

Commençons par simplifier chaque équation.

1. Première équation : \[ 2x + 4y = 6 \quad \text{(Équation 1)} \]

2. Deuxième équation : \[ \frac{1}{2}x + 3y = \frac{11}{2} \quad \text{(Équation 2)} \]

3. Troisième équation : \[ \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}z = 6 \quad \text{(Équation 3)} \]

Étape 2 : Résoudre les deux premières équations pour \(x\) et \(y\)

Concentrons-nous sur les Équations 1 et 2 pour trouver \(x\) et \(y\).

1. Simplifions l’Équation 2 : Multiplions chaque terme par 2 pour éliminer les fractions : \[ 2 \times \left( \frac{1}{2}x \right) + 2 \times 3y = 2 \times \frac{11}{2} \] \[ x + 6y = 11 \quad \text{(Équation 4)} \]

2. Nous avons maintenant : \[ \begin{cases} 2x + 4y = 6 \quad \text{(Équation 1)} \\ x + 6y = 11 \quad \text{(Équation 4)} \end{cases} \]

3. Exprimons \(x\) en fonction de \(y\) à partir de l’Équation 4 : \[ x = 11 - 6y \quad \text{(Équation 5)} \]

4. Substituons \(x\) dans l’Équation 1 : \[ 2(11 - 6y) + 4y = 6 \] Développons : \[ 22 - 12y + 4y = 6 \] Regroupons les termes similaires : \[ 22 - 8y = 6 \] Soustrayons 22 des deux côtés : \[ -8y = 6 - 22 \] \[ -8y = -16 \] Divisons par -8 : \[ y = 2 \]

5. Trouvons \(x\) en utilisant l’Équation 5 : \[ x = 11 - 6 \times 2 = 11 - 12 = -1 \]

Étape 3 : Résoudre la troisième équation pour \(z\)

Maintenant que nous avons \(x = -1\), utilisons l’Équation 3 pour trouver \(z\).

1. Substituons \(x\) dans l’Équation 3 : \[ \frac{3}{2} \times (-1) - \frac{5}{2}z = 6 \] Calculons : \[ -\frac{3}{2} - \frac{5}{2}z = 6 \] Ajoutons \(\frac{3}{2}\) des deux côtés : \[ -\frac{5}{2}z = 6 + \frac{3}{2} \] Convertissons 6 en fraction : \[ -\frac{5}{2}z = \frac{12}{2} + \frac{3}{2} = \frac{15}{2} \] Divisons par \(-\frac{5}{2}\) : \[ z = \frac{15}{2} \div \left( -\frac{5}{2} \right) = \frac{15}{2} \times \left( -\frac{2}{5} \right) = -3 \]

Conclusion

La solution du système est : \[ x = -1, \quad y = 2, \quad z = -3 \]