Résoudre les systèmes suivants :
\[ \begin{cases} x + y - 2z = 3 \\ 3x + 2y - z = 12 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y + z = 18 \\ 3x + y + z = 22 \\ x + y - 6z = -17 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x - y + 2z = 0 \\ x - 2y + 3z = 1 \\ 2x - 2y + z = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y = 16 \\ x + z = 11 \\ 2y - z = 15 \end{cases} \]
Les solutions sont \(x = 6 - 3z\), \(y = 5z - 3\), \(z\) réel.
La solution est \(x = 2\), \(y = 11\), \(z = 5\).
La solution est \(x = 0\), \(y = -2\), \(z = -1\).
La solution est \(x = 6\), \(y = 10\), \(z = 5\).
\[ \begin{cases} x + y - 2z = 3 \\ 3x + 2y - z = 12 \end{cases} \]
Commençons par exprimer \(x\) en fonction de \(y\) et \(z\) à partir de la première équation.
\[ x + y - 2z = 3 \implies x = 3 - y + 2z \]
Remplaçons \(x\) dans la deuxième équation par l’expression trouvée.
\[ 3(3 - y + 2z) + 2y - z = 12 \]
Développons :
\[ 9 - 3y + 6z + 2y - z = 12 \]
Simplifions les termes similaires :
\[ 9 - y + 5z = 12 \]
Isolons \(y\) :
\[ - y + 5z = 12 - 9 \implies -y + 5z = 3 \implies y = 5z - 3 \]
Comme il y a deux équations avec trois variables, il y a une infinité de solutions dépendant de \(z\). Pour exprimer les solutions générales :
\[ x = 3 - y + 2z = 3 - (5z - 3) + 2z = 6 - 3z \] \[ y = 5z - 3 \] \[ z = z \]
Les solutions du système sont : \[ \begin{cases} x = 6 - 3z \\ y = 5z - 3 \\ z = z \end{cases} \] où \(z\) est un nombre réel.
\[ \begin{cases} x + y + z = 18 \\ 3x + y + z = 22 \\ x + y - 6z = -17 \end{cases} \]
Soustrayons la première équation de la deuxième pour éliminer \(y\) et \(z\).
\[ (3x + y + z) - (x + y + z) = 22 - 18 \] \[ 2x = 4 \implies x = 2 \]
Remplaçons \(x\) dans la première équation :
\[ 2 + y + z = 18 \implies y + z = 16 \quad \text{(Équation 4)} \]
Remplaçons \(x\) dans la troisième équation :
\[ 2 + y - 6z = -17 \implies y - 6z = -19 \quad \text{(Équation 5)} \]
À partir de l’équation 4, exprimons \(y\) :
\[ y = 16 - z \]
Remplaçons \(y\) dans l’équation 5 :
\[ (16 - z) - 6z = -19 \] \[ 16 - 7z = -19 \] \[ -7z = -35 \implies z = 5 \]
Substituons \(z = 5\) dans \(y = 16 - z\) :
\[ y = 16 - 5 = 11 \]
La solution du système est : \[ \begin{cases} x = 2 \\ y = 11 \\ z = 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x - y + 2z = 0 \\ x - 2y + 3z = 1 \\ 2x - 2y + z = 3 \end{cases} \]
Soustrayons la première équation de la deuxième :
\[ (x - 2y + 3z) - (x - y + 2z) = 1 - 0 \] \[ - y + z = 1 \quad \text{(Équation 4)} \]
Soustrayons également la première équation de la troisième :
\[ (2x - 2y + z) - (x - y + 2z) = 3 - 0 \] \[ x - y - z = 3 \quad \text{(Équation 5)} \]
\[ - y + z = 1 \implies y = z - 1 \]
Remplaçons \(y\) par \(z - 1\) dans l’équation 5 :
\[ x - (z - 1) - z = 3 \] \[ x - z + 1 - z = 3 \] \[ x - 2z = 2 \implies x = 2z + 2 \]
Remplaçons \(x = 2z + 2\) et \(y = z - 1\) dans la première équation :
\[ (2z + 2) - (z - 1) + 2z = 0 \] \[ 2z + 2 - z + 1 + 2z = 0 \] \[ 3z + 3 = 0 \implies 3z = -3 \implies z = -1 \]
\[ y = z - 1 = -1 - 1 = -2 \] \[ x = 2z + 2 = 2(-1) + 2 = 0 \]
La solution du système est : \[ \begin{cases} x = 0 \\ y = -2 \\ z = -1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y = 16 \\ x + z = 11 \\ 2y - z = 15 \end{cases} \]
À partir de la première équation :
\[ x = 16 - y \quad \text{(Équation 4)} \]
À partir de la deuxième équation :
\[ x = 11 - z \quad \text{(Équation 5)} \]
\[ 16 - y = 11 - z \] \[ - y + z = -5 \implies z = y - 5 \quad \text{(Équation 6)} \]
Remplaçons \(z = y - 5\) dans la troisième équation :
\[ 2y - (y - 5) = 15 \] \[ 2y - y + 5 = 15 \] \[ y + 5 = 15 \implies y = 10 \]
\[ z = y - 5 = 10 - 5 = 5 \] \[ x = 16 - y = 16 - 10 = 6 \]
La solution du système est : \[ \begin{cases} x = 6 \\ y = 10 \\ z = 5 \end{cases} \]