Exercice 7

Alexia dit à Christel : « Dans 5 ans, j’aurai 5 fois le quart de ton âge actuel. » Christel répond : « Tu n’as que 5 ans de plus que moi ! » Calculer l’âge des deux amies.

Réponse

Christel a 40 ans et Alexia a 45 ans.

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous allons établir des équations basées sur les informations fournies dans l’énoncé. Suivons les étapes ci-dessous :

1. Définir les inconnues

• Âge actuel de Christel : Notons \(C\) ans.
• Âge actuel d’Alexia : Puisqu’Alexia a 5 ans de plus que Christel, son âge est \(C + 5\) ans.

2. Traduire les déclarations en équations

Première déclaration d’Alexia : > « Dans 5 ans, j’aurai 5 fois le quart de ton âge actuel. »

Analysons cette phrase :

• Dans 5 ans :
  • Âge d’Alexia : \((C + 5) + 5 = C + 10\) ans.
• 5 fois le quart de l’âge actuel de Christel :
  • Quart de l’âge actuel de Christel : \(\frac{C}{4}\).
  • 5 fois ce quart : \(5 \times \frac{C}{4} = \frac{5C}{4}\).

L’énoncé nous donne donc l’équation : \[ C + 10 = \frac{5C}{4} \]

3. Résoudre l’équation

Multiplions chaque membre de l’équation par 4 pour éliminer le dénominateur : \[ 4(C + 10) = 5C \] \[ 4C + 40 = 5C \]

Isolons \(C\) : \[ 5C - 4C = 40 \] \[ C = 40 \]

4. Déterminer l’âge d’Alexia

Puisque Alexia a 5 ans de plus que Christel : \[ \text{Âge d'Alexia} = C + 5 = 40 + 5 = 45 \text{ ans} \]

5. Vérification

Vérifions les valeurs obtenues avec la première déclaration d’Alexia :

• Âge d’Alexia dans 5 ans : \(45 + 5 = 50\) ans.
• 5 fois le quart de l’âge actuel de Christel : \(5 \times \frac{40}{4} = 5 \times 10 = 50\) ans.

Les deux valeurs sont égales, ce qui confirme la justesse de notre solution.

Conclusion

• Âge actuel de Christel : \(40\) ans.
• Âge actuel d’Alexia : \(45\) ans.