Résoudre les systèmes d’équations suivants par substitution :
\[ \begin{cases} 5x - 9y = 12 \\ x = 3y \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 6x = 18 \\ 4x + 5y = -8 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = -3 \\ 2x + 3y = 9 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x - y = 11 \\ 2x = 3y + 25 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ y = x \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x = 11 - 3y \\ 2x + \frac{1}{4}y = -3 \end{cases} \]
Solutions des systèmes d’équations :
Voici la correction détaillée de chaque système d’équations par la méthode de substitution :
────────────────────────────── Système 1 : Équations : (1) 5x – 9y = 12 (2) x = 3y
Étape 1 : Utiliser l’équation (2) qui donne x directement. On sait que x = 3y.
Étape 2 : Remplacer x dans l’équation (1) par 3y. Calcul : 5(3y) – 9y = 12 ⟹ 15y – 9y = 12
Étape 3 : Simplifier et résoudre pour y. 15y – 9y = 6y, donc l’équation devient 6y = 12. Diviser chaque côté par 6 : y = 12 ÷ 6 = 2.
Étape 4 : Trouver x en utilisant l’équation x = 3y. x = 3 × 2 = 6.
Solution du système : x = 6 et y = 2.
────────────────────────────── Système 2 : Équations : (1) 6x = 18 (2) 4x + 5y = –8
Étape 1 : Résoudre l’équation (1) pour x. 6x = 18 ⟹ x = 18 ÷ 6 = 3.
Étape 2 : Remplacer x = 3 dans l’équation (2). 4(3) + 5y = –8 ⟹ 12 + 5y = –8.
Étape 3 : Isoler 5y. 5y = –8 – 12 ⟹ 5y = –20. Diviser chaque côté par 5 : y = –20 ÷ 5 = –4.
Solution du système : x = 3 et y = –4.
────────────────────────────── Système 3 : Équations : (1) x = –3 (2) 2x + 3y = 9
Étape 1 : L’équation (1) donne déjà x = –3.
Étape 2 : Remplacer x = –3 dans l’équation (2). 2(–3) + 3y = 9 ⟹ –6 + 3y = 9.
Étape 3 : Ajouter 6 de chaque côté pour isoler 3y. 3y = 9 + 6 ⟹ 3y = 15. Diviser par 3 : y = 15 ÷ 3 = 5.
Solution du système : x = –3 et y = 5.
────────────────────────────── Système 4 : Équations : (1) x – y = 11 (2) 2x = 3y + 25
Étape 1 : Exprimer x en fonction de y à partir de (1). x – y = 11 ⟹ x = y + 11.
Étape 2 : Substituer x = y + 11 dans l’équation (2). 2(y + 11) = 3y + 25.
Étape 3 : Développer et simplifier. 2y + 22 = 3y + 25. Pour isoler y, soustraire 2y des deux côtés : 22 = y + 25. Ensuite, soustraire 25 : y = 22 – 25 = –3.
Étape 4 : Calculer x avec x = y + 11. x = (–3) + 11 = 8.
Solution du système : x = 8 et y = –3.
────────────────────────────── Système 5 : Équations : (1) 5x – 2y = 1 (2) y = x
Étape 1 : Utiliser l’équation (2) pour remplacer y par x. y = x.
Étape 2 : Substituer y = x dans l’équation (1). 5x – 2x = 1 ⟹ 3x = 1.
Étape 3 : Diviser par 3 pour trouver x. x = 1 ÷ 3 = 1/3. Puis, avec y = x, on a y = 1/3.
Solution du système : x = 1/3 et y = 1/3.
────────────────────────────── Système 6 : Équations : (1) (1/2)x = 11 – 3y (2) 2x + (1/4)y = –3
Étape 1 : Résoudre l’équation (1) pour x. (1/2)x = 11 – 3y Pour éliminer la fraction, multiplier chaque côté par 2 : x = 2(11 – 3y) = 22 – 6y.
Étape 2 : Remplacer x dans l’équation (2). 2(22 – 6y) + (1/4)y = –3. Développer : 44 – 12y + (1/4)y = –3.
Étape 3 : Simplifier l’équation en rassemblant les termes en y. –12y + (1/4)y = –(48/4)y + (1/4)y = –(47/4)y. L’équation devient : 44 – (47/4)y = –3.
Étape 4 : Isoler le terme en y. Soustraire 44 des deux côtés : –(47/4)y = –3 – 44 ⟹ –(47/4)y = –47.
Étape 5 : Pour trouver y, multiplier par l’inverse de –47/4. y = (–47) ÷ (–47/4) = (–47) × (–4/47) = 4.
Étape 6 : Calculer x à partir de x = 22 – 6y. x = 22 – 6×4 = 22 – 24 = –2.
Solution du système : x = –2 et y = 4.
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions : 1) x =
6, y = 2
2) x = 3, y = –4
3) x = –3, y = 5
4) x = 8, y = –3
5) x = 1/3, y = 1/3
6) x = –2, y = 4
Chaque système a été résolu en isolant d’abord une variable par substitution, puis en remplaçant dans l’autre équation pour trouver la valeur de la seconde variable. Ensuite, on a substitué de nouveau pour trouver la première variable.