Résoudre les systèmes d’équations suivants par addition :
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x - y = -12 \\ x + y = -3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 22 \\ 5x + 3y = 24 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 7x + 4y = 9 \\ -2x + 3y = 14 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4x - 3y = -17 \\ 5x + 8y = 14 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5x = 2y + 16 \\ 3y = 2x - 13 \end{cases} \]
Solutions des systèmes :
Nous allons résoudre chaque système d’équations en utilisant la méthode par addition. Cette méthode consiste à additionner ou soustraire les deux équations de manière à éliminer l’une des variables, ce qui nous permettra de trouver la valeur de l’autre variable.
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases} \]
Étapes de résolution :
Aligner les équations : \[ \begin{cases} 3x - 2y = 5 \quad (1)\\ \ \ x - y = 3 \quad (2) \end{cases} \]
Multiplier l’équation (2) pour faciliter l’élimination d’une variable :
Nous allons multiplier l’équation (2) par 2 pour aligner les coefficients des \(y\). \[ 2(x - y) = 2 \times 3 \\ 2x - 2y = 6 \quad (2') \]
Soustraire l’équation (2’) de l’équation (1) pour éliminer \(y\) : \[ (3x - 2y) - (2x - 2y) = 5 - 6 \\ 3x - 2y - 2x + 2y = -1 \\ x = -1 \]
Trouver la valeur de \(y\) en remplaçant \(x\) dans l’équation (2) : \[ x - y = 3 \\ -1 - y = 3 \\ -y = 4 \\ y = -4 \]
Solution : \[ x = -1 \quad \text{et} \quad y = -4 \]
\[ \begin{cases} 2x - y = -12 \\ x + y = -3 \end{cases} \]
Étapes de résolution :
Aligner les équations : \[ \begin{cases} 2x - y = -12 \quad (1)\\ \ \ x + y = -3 \quad (2) \end{cases} \]
Additionner les deux équations pour éliminer \(y\) : \[ (2x - y) + (x + y) = -12 + (-3) \\ 3x = -15 \\ x = -5 \]
Trouver la valeur de \(y\) en remplaçant \(x\) dans l’équation (2) : \[ x + y = -3 \\ -5 + y = -3 \\ y = 2 \]
Solution : \[ x = -5 \quad \text{et} \quad y = 2 \]
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 22 \\ 5x + 3y = 24 \end{cases} \]
Étapes de résolution :
Aligner les équations : \[ \begin{cases} 3x - 2y = 22 \quad (1)\\ 5x + 3y = 24 \quad (2) \end{cases} \]
Déterminer les multiplicateurs pour éliminer \(y\) :
Trouvons des coefficients tels que nous pouvons additionner les équations pour éliminer \(y\). Multiplions l’équation (1) par 3 et l’équation (2) par 2 : \[ 3(3x - 2y) = 3 \times 22 \\ 9x - 6y = 66 \quad (1') \\ 2(5x + 3y) = 2 \times 24 \\ 10x + 6y = 48 \quad (2') \]
Additionner les équations (1’) et (2’) pour éliminer \(y\) : \[ (9x - 6y) + (10x + 6y) = 66 + 48 \\ 19x = 114 \\ x = 6 \]
Trouver la valeur de \(y\) en remplaçant \(x\) dans l’équation (1) : \[ 3x - 2y = 22 \\ 3(6) - 2y = 22 \\ 18 - 2y = 22 \\ -2y = 4 \\ y = -2 \]
Solution : \[ x = 6 \quad \text{et} \quad y = -2 \]
\[ \begin{cases} 7x + 4y = 9 \\ -2x + 3y = 14 \end{cases} \]
Étapes de résolution :
Aligner les équations : \[ \begin{cases} 7x + 4y = 9 \quad (1)\\ -2x + 3y = 14 \quad (2) \end{cases} \]
Déterminer les multiplicateurs pour éliminer \(y\) :
Trouvons un multiple commun aux coefficients de \(y\) (4 et 3), qui est 12. Multiplions l’équation (1) par 3 et l’équation (2) par 4 : \[ 3(7x + 4y) = 3 \times 9 \\ 21x + 12y = 27 \quad (1') \\ 4(-2x + 3y) = 4 \times 14 \\ -8x + 12y = 56 \quad (2') \]
Soustraire l’équation (2’) de l’équation (1’) pour éliminer \(y\) : \[ (21x + 12y) - (-8x + 12y) = 27 - 56 \\ 21x + 12y + 8x - 12y = -29 \\ 29x = -29 \\ x = -1 \]
Trouver la valeur de \(y\) en remplaçant \(x\) dans l’équation (1) : \[ 7x + 4y = 9 \\ 7(-1) + 4y = 9 \\ -7 + 4y = 9 \\ 4y = 16 \\ y = 4 \]
Solution : \[ x = -1 \quad \text{et} \quad y = 4 \]
\[ \begin{cases} 4x - 3y = -17 \\ 5x + 8y = 14 \end{cases} \]
Étapes de résolution :
Aligner les équations : \[ \begin{cases} 4x - 3y = -17 \quad (1)\\ 5x + 8y = 14 \quad (2) \end{cases} \]
Déterminer les multiplicateurs pour éliminer \(y\) :
Trouvons un multiple commun aux coefficients de \(y\) (-3 et 8), qui est 24. Multiplions l’équation (1) par 8 et l’équation (2) par 3 : \[ 8(4x - 3y) = 8 \times (-17) \\ 32x - 24y = -136 \quad (1') \\ 3(5x + 8y) = 3 \times 14 \\ 15x + 24y = 42 \quad (2') \]
Additionner les équations (1’) et (2’) pour éliminer \(y\) : \[ (32x - 24y) + (15x + 24y) = -136 + 42 \\ 47x = -94 \\ x = -2 \]
Trouver la valeur de \(y\) en remplaçant \(x\) dans l’équation (1) : \[ 4x - 3y = -17 \\ 4(-2) - 3y = -17 \\ -8 - 3y = -17 \\ -3y = -9 \\ y = 3 \]
Solution : \[ x = -2 \quad \text{et} \quad y = 3 \]
\[ \begin{cases} 5x = 2y + 16 \\ 3y = 2x - 13 \end{cases} \]
Étapes de résolution :
Réécrire les équations sous forme standard \(ax + by = c\) : \[ \begin{cases} 5x - 2y = 16 \quad (1)\\ -2x + 3y = 13 \quad (2) \end{cases} \]
Aligner les équations : \[ \begin{cases} 5x - 2y = 16 \quad (1)\\ -2x + 3y = 13 \quad (2) \end{cases} \]
Déterminer les multiplicateurs pour éliminer \(x\) :
Trouvons un multiple commun aux coefficients de \(x\) (5 et -2), qui est 10. Multiplions l’équation (1) par 2 et l’équation (2) par 5 : \[ 2(5x - 2y) = 2 \times 16 \\ 10x - 4y = 32 \quad (1') \\ 5(-2x + 3y) = 5 \times 13 \\ -10x + 15y = 65 \quad (2') \]
Additionner les équations (1’) et (2’) pour éliminer \(x\) : \[ (10x - 4y) + (-10x + 15y) = 32 + 65 \\ 0x + 11y = 97 \\ 11y = 97 \\ y = \frac{97}{11} \approx 8,818 \]
Cependant, pour une solution exacte, nous gardons la fraction : \[ y = \frac{97}{11} \]
Trouver la valeur de \(x\) en remplaçant \(y\) dans l’équation (1) : \[ 5x - 2y = 16 \\ 5x - 2\left(\frac{97}{11}\right) = 16 \\ 5x - \frac{194}{11} = 16 \\ 5x = 16 + \frac{194}{11} \\ 5x = \frac{176}{11} + \frac{194}{11} \\ 5x = \frac{370}{11} \\ x = \frac{370}{11 \times 5} \\ x = \frac{370}{55} \\ x = \frac{74}{11} \]
Solution : \[ x = \frac{74}{11} \quad \text{et} \quad y = \frac{97}{11} \]
Remarque : Pour le système 6, les solutions sont des fractions. Si nécessaire, elles peuvent être laissées sous forme fractionnaire ou converties en décimales approximatives.