Un système de deux équations linéaires à deux inconnues peut-il n’avoir aucune solution ?
Justifie ta réponse.
Les droites de 2x + 3y = 5 et 4x + 6y = 12 sont parallèles et distinctes (coefficients proportionnels mais constantes différentes), donc le système n’a aucune solution.
Prenons un système de deux équations linéaires à deux variables, par exemple :
(1) a₁x + b₁y = c₁
(2) a₂x + b₂y = c₂
Pour étudier les solutions de ce système, on peut regarder la représentation graphique de ces équations. Chaque équation représente une droite dans le plan. Le système peut avoir :
• Une solution unique : si les deux droites se coupent en un seul
point.
• Plusieurs solutions : si les deux équations représentent la même
droite (elles sont confondues).
• Aucune solution : si les deux droites sont parallèles sans être
confondues (elles ne se coupent jamais).
Pour que deux droites soient parallèles, il faut que leurs coefficients directeurs soient égaux. Le coefficient directeur d’une droite donnée par a·x + b·y = c est –a/b (à condition que b ≠ 0). Ainsi, les droites issues de (1) et (2) sont parallèles si :
–a₁/b₁ = –a₂/b₂ ce qui équivaut à a₁/b₁ = a₂/b₂
Cependant, pour que les droites soient distinctes (et donc ne pas être confondues), il faut que les constantes ne respectent pas la même relation. Autrement dit, même si a₁/b₁ = a₂/b₂, il faut que :
c₁/b₁ ≠ c₂/b₂ (ou de manière équivalente, les rapports entre les coefficients et la constante ne soient pas les mêmes).
Exemple concret :
Considérons le système suivant :
(1) 2x + 3y = 5
(2) 4x + 6y = 12
Analysons les coefficients : • Pour la première équation, le rapport entre les coefficients de x et y est 2/3. • Pour la deuxième équation, le rapport est 4/6, ce qui se simplifie aussi en 2/3.
Ainsi, les coefficients directeurs des deux droites sont égaux, ce qui signifie que les droites sont parallèles. Toutefois, si l’on multiplie la première équation par 2, on obtient :
2 × (2x + 3y) = 2 × 5
4x + 6y = 10
On remarque que la droite obtenue est 4x + 6y = 10, tandis que la deuxième équation est 4x + 6y = 12. Même si les termes en x et y sont identiques, les constantes sont différentes (10 ≠ 12). Donc, les deux droites ne coïncident pas et elles ne se coupent jamais. Cela signifie que le système n’a aucune solution.
Conclusion :
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues peut ne pas avoir de solution si les équations représentent deux droites parallèles et distinctes. Dans l’exemple ci-dessus, cette condition est satisfaite car les coefficients de x et y sont proportionnels mais les constantes ne le sont pas.