Question : Résous ces systèmes d’équations par combinaison linéaire.
\[ \begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ 2x - y = 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} -5x + 2y = -14,6 \\ 4x + 3y = 22,8 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 7( x - 2y ) = 21 \\ 5y + \left( 3x - \dfrac{3}{4} \right) = 10 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4(x + 3) - 3y = 2 \\ 5x - 2(y - 2) = y + 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{3x}{2} + \dfrac{y}{5} = 4 \\ 2,2x - 4y = 16 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{2x + y}{6} + \dfrac{x - 2y}{4} = 8 \\ \dfrac{3x - y}{5} - \dfrac{2x + y}{3} = 7 \end{cases} \]
Réponses résumées :
Nous allons résoudre chacun de ces systèmes d’équations par la méthode de combinaison linéaire. Pour chaque système, nous montrerons les étapes afin d’éliminer l’une des variables et trouver ensuite l’autre.
────────────────────────────── Exercice a) Système : (1) 3x + 4y =
18
(2) 2x – y = 5
Pour éliminer y, nous pouvons multiplier (2) par 4 de sorte à avoir un coefficient opposé à celui de (1) : (2’) 4×(2x – y) = 4×5 ⟹ 8x – 4y = 20
Additionnons (1) et (2’) : 3x + 4y + 8x – 4y = 18 + 20
(3x + 8x) + (4y – 4y) = 38
11x = 38
x = 38/11
Remplaçons x dans (2) pour trouver y : 2(38/11) – y = 5
76/11 – y = 5
–y = 5 – 76/11 = (55/11 – 76/11) = –21/11
y = 21/11
Ainsi, la solution est :
x = 38/11 et y = 21/11
────────────────────────────── Exercice b) Système : (1) –5x + 2y =
–14,6
(2) 4x + 3y = 22,8
Pour éliminer y, nous pouvons rendre leur coefficient opposé.
Multiplions (1) par 3 et (2) par 2 : (1’) –15x + 6y = –43,8
(2’) 8x + 6y = 45,6
Soustrayons (1’) de (2’) pour éliminer y : [8x + 6y] – [–15x +
6y] = 45,6 – (–43,8)
8x + 6y + 15x – 6y = 45,6 + 43,8
23x = 89,4
x = 89,4/23
x ≈ 3,89
Remplaçons x dans (2) pour trouver y : 4(3,89) + 3y =
22,8
15,56 + 3y = 22,8
3y = 22,8 – 15,56 = 7,24
y = 7,24/3
y ≈ 2,41
La solution arrondie est :
x ≈ 3,89 et y ≈ 2,41
────────────────────────────── Exercice c) Système : (1) 7(x – 2y)
= 21
(2) 5y + (3x – 3/4) = 10
Développons (1) : 7x – 14y = 21
On peut diviser par 7 : x – 2y = 3 ⟹ x = 3 + 2y
Pour (2), isolons la partie avec x et y : 5y + 3x – 3/4 =
10
Ajoutons 3/4 aux deux côtés : 3x + 5y = 10 + 3/4 = (40/4 + 3/4) =
43/4
Remplaçons x par 3 + 2y dans (2) : 3(3 + 2y) + 5y = 43/4
9 + 6y + 5y = 43/4
9 + 11y = 43/4
11y = 43/4 – 9 = (43 – 36)/4 = 7/4
y = (7/4) / 11 = 7/44
Déduisons x : x = 3 + 2(7/44) = 3 + 14/44 = 3 + 7/22
Pour mettre sur un même dénominateur, 3 = 66/22, donc x = (66 + 7)/22
= 73/22
La solution est :
x = 73/22 et y = 7/44
────────────────────────────── Exercice d) Système : (1) 4(x + 3) –
3y = 2
(2) 5x – 2(y – 2) = y + 5
Développons (1) : 4x + 12 – 3y = 2
4x – 3y = 2 – 12 = –10
Développons (2) : 5x – 2y + 4 = y + 5
Réorganisons : 5x – 2y + 4 – y – 5 = 0
5x – 3y – 1 = 0
5x – 3y = 1
On a alors : (1’) 4x – 3y = –10
(2’) 5x – 3y = 1
Soustrayons (1’) de (2’) pour éliminer y : (5x – 3y) – (4x –
3y) = 1 – (–10)
5x – 4x = 11
x = 11
Remplaçons x dans (1’) : 4×11 – 3y = –10
44 – 3y = –10
–3y = –10 – 44 = –54
y = 18
La solution est :
x = 11 et y = 18
────────────────────────────── Exercice e) Système : (1) (3x)/2 +
y/5 = 4
(2) 2,2x – 4y = 16
Remarque : 2,2 s’écrit aussi 11/5.
Pour éliminer les fractions dans (1), multiplions par 10 (le PPCM
de 2 et 5) : 10 × [(3x)/2] + 10 × (y/5) = 10×4
15x + 2y = 40 (1’)
Dans (2), en remplaçant 2,2 par 11/5, on a : (11/5)x – 4y =
16
Multiplions cette équation par 5 pour éliminer la fraction : 11x –
20y = 80 (2’)
Nous avons le système suivant : 15x + 2y = 40 (1’) 11x – 20y = 80 (2’)
Pour éliminer y, multiplions (1’) par 10 afin d’obtenir 20y :
10×(15x + 2y) = 10×40
150x + 20y = 400 (1’’)
Maintenant, additionnons (1’’) et (2’) : 150x + 20y + 11x – 20y
= 400 + 80
(150x + 11x) = 480
161x = 480
x = 480/161
Pour trouver y, remplaçons x dans (1’) : 15(480/161) + 2y =
40
(7200/161) + 2y = 40
2y = 40 – 7200/161
40 = 40×161/161 = 6440/161
2y = (6440 – 7200)/161 = (–760)/161
y = (–760)/(2×161) = –380/161
La solution est :
x = 480/161 et y = –380/161
(environ x ≈ 2,98 et y ≈ –2,36)
────────────────────────────── Exercice f) Système : (1) [(2x +
y)/6] + [(x – 2y)/4] = 8
(2) [(3x – y)/5] – [(2x + y)/3] = 7
• Résolution de (1) : 1. Trouvons le PPCM de 6 et 4 qui est 12.
Multiplions toute l’équation par 12 : 12×[(2x+y)/6] + 12×[(x–2y)/4] =
12×8
2(2x + y) + 3(x – 2y) = 96
• Résolution de (2) : 1. Le PPCM de 5 et 3 est 15. Multiplions (2)
par 15 : 15×[(3x – y)/5] – 15×[(2x + y)/3] = 15×7
3(3x – y) – 5(2x + y) = 105
• Maintenant, nous avons le système : (1’) 7x – 4y = 96
(2’) x + 8y = –105
Isolons x dans (2’) : x = –105 – 8y
Substituons dans (1’) : 7(–105 – 8y) – 4y = 96
–735 – 56y – 4y = 96
–735 – 60y = 96
–60y = 96 + 735 = 831
y = –831/60
Simplifions par 3 : y = –277/20
Déduisons x : x = –105 – 8(–277/20) = –105 + (8×277)/20
Calculons 8×277 = 2216
x = –105 + 2216/20
Pour combiner, exprimons –105 sous forme de fraction sur 20 : –105 =
–2100/20
x = (–2100 + 2216)/20 = 116/20 = 29/5
La solution est :
x = 29/5 et y = –277/20
(ce qui correspond approximativement à x ≈ 5,8 et y ≈ –13,85)
────────────────────────────── Résumé des solutions :
x = 38/11 y = 21/11
x ≈ 3,89 y ≈ 2,41
x = 73/22 y = 7/44
x = 11 y = 18
x = 480/161 y = –380/161
x = 29/5 y = –277/20
Chaque étape a été détaillée afin de comprendre le procédé de combinaison linéaire et l’élimination de variables pour résoudre ces systèmes.