Exercices corrigés de Systèmes d'équations et problèmes - 11e
Consultez gratuitement des exercices de maths sur Systèmes d'équations et problèmes de 11e avec les corrigés détaillés en PDF ou en ligne.
Exercice 1
Difficulté : 75/100
Pour une exposition, le coût des billets pour adultes est de 30 euros, tandis que celui des billets pour enfants est de 15 euros. Le nombre de billets pour adultes vendus est deux fois celui des billets pour enfants. La recette totale générée par la vente de tous les billets est de 4500 euros. Combien de billets pour adultes et pour enfants ont été vendus ?
Exercice 2
Difficulté : 75/100
a) Trouvez deux nombres tels que leur somme soit 782 et leur différence 260.
b) Trouvez deux nombres tels que leur somme soit 198 et leur différence 246.
c) Trouvez deux nombres tels que leur somme soit 360, sachant que l'un est le double de l'autre.
d) La somme de deux nombres est 160. Lorsque le premier est divisé par le second, le quotient est 6 et le reste est 8. Quels sont ces nombres?
e) Un rectangle a un périmètre de 150 m. Si l'on diminue sa longueur de 3 m et que l'on augmente sa largeur de 2 m, son aire diminue de $18 \, \mathrm{m}^2$. Quelles sont les dimensions initiales du rectangle?
f) Une boîte contient des billes rouges et des billes bleues.
-
Si l’on ajoute une bille rouge, les billes rouges représentent le tiers du nouveau total.
-
Si l’on retire une bille rouge, elles représentent un quart du total.
Combien y a-t-il de billes bleues dans la boîte?
g) Une échelle est posée verticalement contre un mur :
-
Le sommet de l’échelle dépasse de 20 cm le sommet du mur.
-
Si l’on écarte le pied de l’échelle de 80 cm du pied du mur, leurs sommets coïncident.
Quelle est la hauteur du mur?
Exercice 3
Difficulté : 58/100
Deux figures, les chiffres 3 et 6, sont formés à l'aide de baguettes : baguettes longues horizontales et courtes verticales.
-
La longueur totale des baguettes nécessaires pour le chiffre 3 est de $ 92 \, \text{cm} $.
-
La longueur totale des baguettes nécessaires pour le chiffre 6 est de $ 1.5 \, \text{m} $.
Quelle est la longueur de chaque type de baguette, en supposant que toutes les baguettes longues ont la même longueur et que toutes les baguettes courtes ont aussi une longueur uniforme ?
Exercice 4
Difficulté : 60/100
On considère les fonctions suivantes :
$$ \begin{aligned} $$ $$ $$ $$ & p : x \longmapsto 3x + 2 \ $$ $$ $$ $$ & q : x \longmapsto -x + 3 \ $$ $$ $$ $$ \end{aligned} $$
$$ r : x \longmapsto 2x - 1 $$
$$ \begin{aligned} $$ $$ $$ $$ & t : x \longmapsto -x + 5 \ $$ $$ $$ $$ & u : x \longmapsto 4x + 1 \ $$ $$ $$ $$ \end{aligned} $$
$$ v : x \longmapsto 3x + 4 $$
Questions :
-
Quelle est la méthode graphique pour trouver les solutions des systèmes d'équations ?
-
À l’aide des graphiques, détermine l’ensemble des solutions des équations ci-dessous.
Fonctions :
$$ \begin{aligned} $$ $$ $$ $$ p : x & \longmapsto x - 1 \ $$ $$ $$ $$ q : x & \longmapsto 3 \ $$ $$ $$ $$ r : x & \longmapsto 2x + 3 \ $$ $$ $$ $$ s : x & \longmapsto x - 5 \ $$ $$ $$ $$ \end{aligned} $$
Équations :
a) $x - 1 = 3$
b) $x - 5 = 2x + 3$
c) $2x + 3 = x - 1$
d) $3 = x - 5$
- Résous ces équations graphiquement :
a) $x + 1 = 3x - 2$
b) $4x = 1 - x$
c) $x + 3 = x + 5$
d) $-2x = 3 - x$
Exercice 5
Difficulté : 56/100
Résous graphiquement les systèmes d'équations suivants :
a)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ y = 7x + 3 \ $$ $$ $$ $$ y = 2x + 5 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
b)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ y - 3x = 4 \ $$ $$ $$ $$ 2x - y = -1 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
c)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 5y - 10x - 20 = 0 \ $$ $$ $$ $$ y - 3x = -12 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
Exercice 6
Difficulté : 60/100
- Appliquez la méthodologie présentée pour résoudre le système suivant :
$$ \begin{aligned} $$ $$ $$ $$ { $$ $$ $$ $$ \begin{aligned} $$ $$ $$ $$ 2x - y & = 1, \ $$ $$ $$ $$ 3x + 5y & = 8. $$ $$ $$ $$ \end{aligned} $$ $$ $$ $$ } $$ $$ $$ $$ \end{aligned} $$
- Résolvez les systèmes suivants en suivant la même approche :
a) ${
\begin{aligned}
x - 3y & = 4, \
2x + y & = 9.
\end{aligned}
}$
b) ${
\begin{aligned}
4x & = y + 2, \
3y & = 12 - 9x.
\end{aligned}
}$
c) ${
\begin{aligned}
x + 4y & = 10, \
2x - 8y & = 5.
\end{aligned}
}$
d) ${
\begin{aligned}
3x + 2y & = 14, \
0.1x & = 0.3y - 3.
\end{aligned}
}$
e) ${
\begin{aligned}
5x & = 3y + 7, \
4y + 6x & = 11.
\end{aligned}
}$
f) ${
\begin{aligned}
\frac{x+3}{2} & = y, \
2x - 5y & = 7.
\end{aligned}
}$
Exercice 7
Difficulté : 45/100
- Vérifiez les étapes données ci-dessous :
Vérifications :
$$ \begin{aligned} $$ $$ $$ $$ & 2x + 3y \stackrel{?}{=} 12 \ $$ $$ $$ $$ & x - 2y \stackrel{?}{=} 4 $$ $$ $$ $$ \end{aligned} $$
La solution proposée est $S = {(1, 5)}$.
- Résolvez chaque système suivant en appliquant une méthode pertinente :
a) $\begin{cases}3x + y = 2 \ x + 4y = -3 \end{cases}$
b) $\begin{cases}5x - 2y = 9 \ 2x + y = -6 \end{cases}$
c) $\begin{cases}2x - 3y = 4 \ x + y = 5 \end{cases}$
d) $\begin{cases}x - y = -1 \ 7x + 3y = 10 \end{cases}$
e) $\begin{cases}4x + 5y = -7 \ 6x - y = 2 \end{cases}$
f) $\begin{cases}y = 3x - 2 \ y = -2x + 4 \end{cases}$
g) $\begin{cases}3x + 5y = 10 \ 4x - y = -2 \end{cases}$
h) $\begin{cases}0,3x + 1,5y = 7,2 \ 4,2x - 1,3y = -3,5 \end{cases}$
i) $\begin{cases}7x + 2y = 3 \ 4x - 5y = 9 \end{cases}$
Exercice 8
Difficulté : 65/100
Résous les systèmes suivants par la méthode de ton choix :
a)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 4u - v = 11 \ $$ $$ $$ $$ 10 + 3v = 72 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
b)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 3x - 2y = 8 \ $$ $$ $$ $$ 2x - 6y = 18 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
c)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ (z + t)^2 = 729 \ $$ $$ $$ $$ 4z = t $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
d)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ \frac{x}{4} + y = 15 \ $$ $$ $$ $$ x + \frac{y}{5} = 10 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
e)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ a + b = 8 \ $$ $$ $$ $$ 2a + 2b = 14 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
f)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 2m + 4n = 48 \ $$ $$ $$ $$ m = n - 12 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
Exercice 9
Difficulté : 40/100
Dans un parc animalier, il y a un total de 100 oiseaux et mammifères, avec un total de 300 pattes. Sachant que chaque oiseau a 2 pattes et chaque mammifère en a 4, combien y a-t-il d'oiseaux dans le parc ?
Exercice 10
Difficulté : 60/100
Le prix d'un ordinateur et d'un écran est de 940 euros avant la promotion. Après une réduction respective de $15\,\%$ sur l'ordinateur et de $25\,\%$ sur l'écran, le prix total baisse de 200 euros.
Quels étaient les prix initiaux de l'ordinateur et de l'écran ?
Exercice 11
Difficulté : 70/100
Exercice 1
Identifiez la solution générale de chaque équation donnée et tracez leur graphe pour interpréter leur interaction :
a)
$$ \left{ $$
$$ $$
$$ \begin{array}{l} $$
$$ $$
$$ 2y = x + 4 \ $$
$$ $$
$$ b) $$
$$ $$
$$ 
\ $$
$$ $$
$$ y = 2x - 3 $$
$$ $$
$$ \end{array} $$
$$ $$
$$ \right. $$
Exercice 12
Difficulté : 61/100
Ajustez chaque description en un système de deux équations, ensuite déterminez les solutions.
a)
La somme de deux nombres est 70, et leur différence est 26. Quels sont ces deux nombres ?
b)
Un magasin vend des fruits. Trois pommes et quatre oranges coûtent 12 €. Deux pommes et trois oranges coûtent 8 €. Quel est le prix d'une pomme et celui d'une orange ?
c)
Lors d'une collecte, il y a 280 dons en tout :
-
Le montant d'un don en liquide est de 25 €.
-
Le montant d'un don par chèque est de 50 €.
Au total, 11550 € ont été collectés.
Combien de dons ont été effectués en liquide et combien par chèque ?
Exercice 13
Difficulté : 73/100
Dans chaque cas, trouve un couple de nombres $(x, y)$ qui satisfait ces systèmes d'équations :
a)
$$ \left{\begin{aligned} y & = 2x-1 \ 3x + y & = 10.5 \end{aligned}\right. $$
b)
$$ \left{\begin{aligned} x - 2y & = 4 \ 5x + y & = 7 \end{aligned}\right. $$
c)
$$ \left{\begin{aligned} 2x - y & = 3 \ 8x + 5y & = -9 \end{aligned}\right. $$
Exercice 14
Difficulté : 60/100
Résous les systèmes d'équations suivants par la méthode de substitution:
a)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 3x - 5y = 7 \ $$ $$ $$ $$ y + 4x = -6 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
b)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 2.5x + y = 6.5 \ $$ $$ $$ $$ 3x - 0.5y = 4.5 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
c)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 4x = 10 - (x + 3y) \ $$ $$ $$ $$ 2x + 5y - 8 = 3 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
d)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 3(y - 2x) - (y + 2) = 4 \ $$ $$ $$ $$ 1 - y + x = y + 2 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
e)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 2y - 8 = \frac{x}{3} \ $$ $$ $$ $$ \frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 3 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
f)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ \frac{x - 2}{7} - \frac{y}{5} = 0 \ $$ $$ $$ $$ 4x + 2(3 - y) = 6 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
Exercice 15
Difficulté : 64/100
Résous les équations suivantes :
a) $$ \begin{cases} 5x + 2y = 20 \ x - y = 3 \end{cases} $$
b) $$ \begin{cases} 7x - y = -6 \ x + 4y = 14 \end{cases} $$
c) $$ \begin{cases} 2x + 3y = 15 \ x - 2y = -1 \end{cases} $$
d) $$ \begin{cases} 3x + 5y = 8 \ x + 10y = 7 \end{cases} $$
e) $$ \begin{cases} x + 2y = 5 \ 3x - y = 4 \end{cases} $$
f) $$ \begin{cases} x + 3y = 2 \ 2x + 6y = 3 \end{cases} $$
g) $$ \begin{cases} x + y = 15 \ \frac{x}{2} = y + 1 \end{cases} $$
h) $$ \begin{cases} 8x + 11y = 14 \ 3x + 5y = 9 \end{cases} $$
i) $$ \begin{cases} 5x - 3y = 12 \ 2x + y = -4 \end{cases} $$
j) $$ \begin{cases} 3x - 2y = 7.2 \ x + 4y = 13 \end{cases} $$
k) $$ \begin{cases} x = 3y \ x - y = 25 \end{cases} $$
l) $$ \begin{cases} \frac{80x}{4} + 120y = -944 \ x + \frac{4y}{3} = 18 \end{cases} $$
Exercice 16
Difficulté : 65/100
Une entreprise commercialise deux types de produits : A et B. En une semaine, l'entreprise vend 30 unités du produit A et 50 unités du produit B pour un montant total de 4000 €. La semaine suivante, elle vend 40 unités du produit A et 40 unités du produit B, générant un revenu total de 4400 €. Déterminez les prix unitaires des produits A et B.
Exercice 17
Difficulté : 65/100
Trouvez les dimensions d'un rectangle ayant les caractéristiques suivantes :
-
Si on augmente la longueur de 3 m et la largeur de 4 m, son aire augmentera de $72 \, \mathrm{m}^2$.
-
Si on diminue simultanément la longueur de 6 m et la largeur de 2 m, l'aire diminuera de $84 \, \mathrm{m}^2$.
Exercice 18
Difficulté : 65/100
Exercice 1 : Associer un graphique à une équation
Relie les graphiques ci-dessous avec leurs équations représentatives et trouve le point d'intersection dans chaque cas si applicable.
a)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 3y=2x+5\ $$ $$ $$ $$ y=-2x+7 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
b)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ x+y=9\ $$ $$ $$ $$ x-y=3 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
Exercice 2 : Solution par méthode graphique
Résolvez graphiquement le système suivant :
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ x-5y=10\ $$ $$ $$ $$ 2x+3y=6 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
Exercice 3 : Solution par substitution
Résolvez le système d'équations à l'aide de la méthode de substitution :
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ y=4x-5\ $$ $$ $$ $$ 3x+y=9 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
Exercice 4 : Calcul algébrique
Calculez :
a)
$$ x^2+7x+10=0 $$
b)
$$ 4x^2-25=0 $$
c)
$$ (x-1)(x+2)=10 $$
Exercice 5 : Problème de logique
Dans une classe, il y a des canaris et des poissons dans deux aquariums. Il y a 20 animaux et 36 pattes/queues au total. Combien y a-t-il de canaris et de poissons ?
Exercice 6 : Mesures d'un triangle
Trouvez les dimensions d'un triangle rectangle dont un côté mesure 4 cm et l'aire égale 24 cm².
Exercice 19
Difficulté : 62/100
Résous les systèmes d'équations suivants en utilisant la méthode des substitutions :
a)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 8x - 2y = -15.2, \ $$ $$ $$ $$ 4y + 12 = 20x \ $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
b)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 7x + 12y = 45.6, \ $$ $$ $$ $$ 3.5x - 11.2y = 12.34 \ $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
c)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 6(0.4x - 0.6y) = -2.4, \ $$ $$ $$ $$ 4y - \left(3x - \frac{1}{2}\right) = 5 \ $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
d)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 2(x - 0.5) - 4y = -x + 4, \ $$ $$ $$ $$ 6x - 1.5(y - 2) = -5y + 8 \ $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
e)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ \frac{3x}{4} + \frac{3y}{5} = 6, \ $$ $$ $$ $$ 1.5x - 1.2y = 12 \ $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
f)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ \frac{x + y}{9} + \frac{x - y}{8} = 4, \ $$ $$ $$ $$ \frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{4} = 9 \ $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
Exercice 20
Difficulté : 70/100
Un livreur s'inquiète du poids transporté par ses deux camions : l'un est léger et l'autre lourd. Il observe : « Si je déplaçais 500 kg du premier au second camion, leur poids respectif serait égal. » Le second camion ajoute : « Si je déplaçais 500 kg du second au premier camion, alors le poids du premier serait deux fois celui du second. » Déterminez les poids de chaque camion.
Exercice 21
Difficulté : 80/100
Résous les systèmes d'équations suivants en utilisant la méthode de ton choix :
(a)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ x + 2y = 8 \ $$ $$ $$ $$ 3x - y = 11 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
(b)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ ty = 2x + 1 \ $$ $$ $$ $$ y - x = 3 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
(c)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 5x + 3y = 15 \ $$ $$ $$ $$ 10x + 6y = 30 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
(d)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ (x - y)^2 = 16 \ $$ $$ $$ $$ 2x - 3y = 0 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
(e)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 3x^2 + y^2 = 25 \ $$ $$ $$ $$ 4x^2 - 5y^2 = -15 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
(f)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ \frac{3x}{7} + 4y = 2 \ $$ $$ $$ $$ x - 6y = -3 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
(g)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ 5x = 2y \ $$ $$ $$ $$ \frac{3x}{4} - \frac{7}{6}y = \frac{1 + x}{5} $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
(h)
$$ \begin{cases} $$ $$ $$ $$ \frac{x + 4y}{6} = 3 + y \ $$ $$ $$ $$ x - \frac{5y}{2} = 12 $$ $$ $$ $$ \end{cases} $$
Exercice 22
Difficulté : 75/100
a) Trouvez deux nombres tels que leur somme soit 614 et leur différence 142.
b) Trouvez deux nombres tels que leur somme soit 346 et leur différence 164.
c) Trouvez deux nombres tels que leur somme soit 480, sachant que l'un est le triple de l'autre.
d) La somme de deux nombres est 190. Lorsque le premier est divisé par le second, le quotient est 4 et le reste est 10. Quels sont ces nombres?
e) Un rectangle a un périmètre de 200 m. Si l'on diminue sa longueur de 4 m et que l'on augmente sa largeur de 3 m, son aire diminue de $25 \, \mathrm{m}^2$. Quelles sont les dimensions initiales du rectangle?
f) Une boîte contient des billes jaunes et des billes vertes.
-
Si l’on ajoute une bille jaune, les billes jaunes représentent la moitié du nouveau total.
-
Si l’on retire une bille jaune, elles représentent un tiers du total.
Combien y a-t-il de billes vertes dans la boîte?
g) Une échelle est posée verticalement contre un mur :
-
Le sommet de l’échelle dépasse de 25 cm le sommet du mur.
-
Si l’on écarte le pied de l’échelle de 100 cm du pied du mur, leurs sommets coïncident.
Quelle est la hauteur du mur?
Exercice 23
Difficulté : 58/100
a) Une balance affiche un équilibre avec 2 sphères et 3 pyramides sur un plateau, et 4 cylindres sur l'autre. À l'aide de cette information, determine les masses de chaque forme. Justifie ta réponse.
b) Une autre balance est en équilibre, avec 1 sphère et 2 cubes sur un plateau, et 3 pyramides sur l'autre. Peut-on confirmer les masses déterminées précédemment ou faut-il les ajuster ? Explique.