Exercice :
Un cylindre de hauteur \(5\,\text{cm}\) et de rayon de base \(3\,\text{cm}\) a été coupé longitudinalement à \(2\,\text{cm}\) du centre.
Dessine la section à l’échelle réelle.
La coupe longitudinale du cylindre se compose d’un arc de cercle sur la base (où le cercle de rayon 3 cm est intersecté par la droite x = 2, donnant A = (2,√5) et B = (2,–√5)), de deux segments verticaux de 5 cm (prolongements de A et B) et d’un segment horizontal en haut reliant ces prolongements.
Nous allons représenter la coupe d’un cylindre de hauteur 5 cm et de rayon 3 cm réalisé par un plan vertical (coupure longitudinale) situé à 2 cm du centre du cercle de la base. Autrement dit, si l’on considère le cercle de la base (de rayon 3 cm) et son centre O, la droite servant de plan de coupe est parallèle à l’axe du cylindre et se trouve à 2 cm de O. Voici les étapes pour tracer cette section à l’échelle réelle :
| 1) Définir les éléments du cylindre |
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| 2) Choisir le plan de coupe |
| Le plan de coupe est une droite verticale (car il est longitudinal) parallèle à l’axe du cylindre et décalée de 2 cm par rapport à O. On peut, par exemple, choisir l’axe Ox horizontal et placer le plan de coupe en x = 2 cm. |
Dans la base, le cercle a pour équation (dans le repère) : x² + y² = 9. Le plan de coupe étant x = 2, on remplace dans l’équation : (2)² + y² = 9 ⟹ 4 + y² = 9 ⟹ y² = 5 ⟹ y = ±√5. On trouve donc deux points d’intersection A et B ayant pour coordonnées : A = (2, √5) et B = (2, –√5). La distance verticale (en y) entre A et B est alors 2√5 cm (environ 4,47 cm).
| 4) Tracer la courbe de la partie circulaire |
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| 5) Ajouter les segments verticaux délimitant la hauteur |
| Le cylindre ayant une hauteur de 5 cm, la coupe longitudinale se prolonge verticalement : |
| • Faites deux prolongements verticaux à partir des points A et B jusqu’à atteindre une hauteur de 5 cm. Vous noterez ces deux nouveaux points A’ et B’ qui sont situés directement au-dessus respectivement de A et B. • Reliez A’ et B’ par une droite (segment horizontal) qui représente l’extrémité supérieure de la coupe. • De même, la ligne passant par A et B au niveau de la base (hauteur 0) représente l’extrémité inférieure. |
| Ainsi, la figure de la section se compose de : – Un arc de cercle (de la base) reliant A à B. – Deux segments verticaux qui partent de A jusqu’à A’ et de B jusqu’à B’. – Un segment horizontal en haut reliant A’ à B’. |
• Sur votre feuille à l’échelle réelle, commencez par tracer un repère vertical pour la hauteur (5 cm) et horizontal pour les mesures dans la base. • Tracez le cercle de rayon 3 cm. • Marquez le point I situé à 2 cm du centre sur la droite choisie (par exemple, la droite horizontale passant par O). • Identifiez les points A (2, √5) et B (2, –√5) sur le cercle grâce à la relation x² + y² = 9. • Tracez l’arc reliant A et B qui fait partie du cercle. • À partir de A et B, tracez deux segments verticaux de 5 cm (pour représenter la hauteur du cylindre). Sur ces segments, les points A’ et B’ se trouvent à 5 cm de la ligne de base. • Reliez A’ à B’ par un segment horizontal.
Le dessin ainsi obtenu montre la section du cylindre après la coupe longitudinale. Il comporte une partie incurvée (l’arc du cercle) qui représente le bord du cylindre et deux côtés rectilignes (les segments verticaux) qui représentent la hauteur, reliés par la bordure supérieure (segment horizontal).
Conclusion
La représentation à l’échelle réelle de la section se compose donc d’un arc de cercle (étendu de A à B, où A = (2,√5) et B = (2,–√5)), de deux segments verticaux de 5 cm chacun, et d’un segment horizontal en haut reliant les deux extrémités verticales. Ce tracé permet de visualiser la face révélée par la coupe longitudinale du cylindre réalisée à 2 cm du centre.
Ainsi, en suivant ces étapes, vous obtenez un dessin précis et complet de la section de ce cylindre.