Exercice 14

Question : Le dessin ne représente pas une véritable sphère de centre \(C\) et de rayon 8 cm. Les cercles bleu et jaune sont des grands cercles.

1. Quels points appartiennent à cette sphère ? Justifiez votre réponse.

2. En réalité, quelle est la longueur du segment \([EF]\) ?

3. En réalité, quelle est la nature du triangle \(CEF\) ?

Réponse

Résumé :

1. Les points de la sphère sont ceux situés à 8 cm du centre \(C\).

2. La longueur du segment \([EF]\) est de 16 cm.

3. Le triangle \(CEF\) est isocèle.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons répondre aux questions a, b et c en suivant une démarche structurée et détaillée.

Question a

Quels points appartiennent à cette sphère ? Justifiez votre réponse.

Correction

Définition d’une sphère :

Une sphère est l’ensemble des points de l’espace qui sont à une distance constante d’un point fixe appelé centre.

Dans notre cas :

• Centre de la sphère : \(C\)
• Rayon de la sphère : 8 cm

Conclusion :

Tous les points de l’espace qui sont exactement à 8 cm de \(C\) appartiennent à la sphère. Cela signifie que pour tout point \(P\) appartenant à la sphère, la distance entre \(P\) et \(C\) vérifie la relation : \[ CP = 8 \text{ cm} \]

Justification :

Par définition, la sphère de centre \(C\) et de rayon 8 cm est constituée de tous les points \(P\) tels que : \[ CP = 8 \text{ cm} \] Ainsi, tout point vérifiant cette condition appartient à la sphère.

Question b

En réalité, quelle est la longueur du segment \([EF]\) ?

Correction

Données :

• \(E\) et \(F\) sont deux points appartenant aux grands cercles de la sphère.

Propriétés des grands cercles :

Un grand cercle sur une sphère est un cercle dont le centre coïncide avec le centre de la sphère. Toute sphère possède une infinité de grands cercles.

Longueur d’un grand cercle :

La longueur d’un grand cercle est égale à la circonférence de la sphère, donnée par : \[ C = 2\pi \times \text{rayon} = 2\pi \times 8 = 16\pi \text{ cm} \]

Distance entre deux points \(E\) et \(F\) sur un grand cercle :

Si \(E\) et \(F\) sont deux points diamétralement opposés sur un grand cercle, la longueur du segment \([EF]\) correspond au diamètre de la sphère.

Calcul du diamètre :

Le diamètre \(d\) est égal au double du rayon : \[ d = 2 \times 8 = 16 \text{ cm} \]

Conclusion :

La longueur du segment \([EF]\) en réalité est de 16 cm.

Question c

En réalité, quelle est la nature du triangle \(CEF\) ?

Correction

Données :

• \(C\) : Centre de la sphère
• \(E\) et \(F\) : Points appartenant à la sphère
• \([EF] = 16 \text{ cm}\) (d’après la question b)
• \([CE] = [CF] = 8 \text{ cm}\) (rayon de la sphère)

Types de triangles possibles :

1. Triangle équilatéral : Trois côtés de même longueur.
2. Triangle isocèle : Deux côtés de même longueur.
3. Triangle scalène : Trois côtés de longueurs différentes.
4. Triangle rectangle : Un angle droit.

Analyse du triangle \(CEF\) :

• \([CE] = [CF] = 8 \text{ cm}\) (deux côtés égaux)
• \([EF] = 16 \text{ cm}\) (côté différent)

Classification :

Comme deux côtés sont de même longueur, le triangle \(CEF\) est isocèle.

Vérification des angles :

Pour déterminer s’il est également rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Cependant, calculons la somme des carrés des côtés \(CE\) et \(CF\) : \[ CE^2 + CF^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128 \] Comparons avec le carré de \(EF\) : \[ EF^2 = 16^2 = 256 \] Comme \(128 \neq 256\), le triangle n’est pas rectangle.

Conclusion :

Le triangle \(CEF\) est isocèle car il possède deux côtés de même longueur.

Résumé

• a. Les points appartenant à la sphère sont tous les points de l’espace situés à 8 cm du centre \(C\).
• b. La longueur du segment \([EF]\) est de 16 cm.
• c. Le triangle \(CEF\) est isocèle.