Question : La pyramide de Gizeh est une pyramide régulière de hauteur \(130\,\text{m}\), construite sur une base carrée de côté \(210\,\text{m}\).
Un architecte souhaite décorer la pyramide avec des bandes lumineuses placées le long de chacune de ses arêtes.
Calcule la longueur totale de bandes lumineuses nécessaire.
La longueur totale nécessaire est exactement 840 + 4√38950 m, soit environ 1629,5 m.
Nous allons déterminer la longueur totale des bandes lumineuses en suivant ces étapes :
Étudier la structure de la pyramide
La pyramide est régulière et possède donc : • 4 arêtes sur la base (les
côtés du carré)
• 4 arêtes latérales reliant le sommet aux sommets de la base
Calcul de la somme des longueurs des arêtes de la base
La base est un carré de côté 210 m. Il y a 4 côtés, donc la longueur
totale des arêtes de la base est :
L_base = 4 × 210 = 840 m
Calcul de la longueur d’une arête latérale
Pour trouver la longueur d’une arête latérale, on considère le triangle
rectangle dont :
– La hauteur (la distance verticale du sommet à la base) vaut 130
m
– L’autre côté correspond à la distance entre le centre du carré et
l’un de ses sommets.
• Pour un carré de côté 210 m, la longueur de la diagonale est :
diagonale = 210 × √2
• La distance du centre à un sommet est la moitié de cette diagonale
:
d = (210 × √2) / 2 = 105 √2
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par la hauteur, cette distance d et l’arête latérale (que nous noterons e), on obtient : e = √(130² + (105 √2)²)
Calculons les valeurs : • 130² = 16900
• (105 √2)² = 105² × 2 = 11025 × 2 = 22050
Donc, e = √(16900 + 22050) = √38950
Calcul de la somme des longueurs des arêtes latérales
Il y a 4 arêtes latérales, donc leur longueur totale est :
L_latérales = 4 × √38950
Longueur totale des bandes lumineuses
La longueur totale nécessaire est la somme des longueurs des arêtes de
la base et des arêtes latérales :
L_total = L_base + L_latérales
= 840 + 4 √38950 (en mètres)
Valeur approchée
Pour obtenir une valeur numérique approchée, calculons √38950.
On trouve : √38950 ≈ 197,37
Donc 4 √38950 ≈ 4 × 197,37 ≈ 789,48 m
Ainsi,
L_total ≈ 840 + 789,48 ≈ 1629,48 m
Conclusion :
La longueur totale des bandes lumineuses nécessaire est exactement 840 +
4√38950 m, soit environ 1629,5 m.