Un cube a une arête de \(30\ \text{cm}\).
Quelle est la mesure du rayon de la sphère qui le circonscrit ?
Et celle du rayon de la sphère inscrite ?
Quelle est la mesure de l’arête d’un cube inscrit dans une sphère de rayon \(r\) ?
Résumé de l’exercice :
Énoncé : Un cube a une arête de \(30\ \text{cm}\).
1. Rayon de la sphère circonscrite
Définition :
La sphère circonscrite à un cube est une sphère qui passe par tous les
sommets du cube. Le rayon de cette sphère est égal à la moitié de la
diagonale du cube.
Étapes de calcul :
Calcul de la diagonale du cube :
Un cube a trois arêtes perpendiculaires entre elles. La longueur de la diagonale \(D\) peut être calculée en utilisant le théorème de Pythagore dans l’espace.
\[ D = a \times \sqrt{3} \]
où \(a\) est la longueur d’une arête du cube.
Application des valeurs :
\[ D = 30\ \text{cm} \times \sqrt{3} \approx 30\ \text{cm} \times 1,732 = 51,96\ \text{cm} \]
Calcul du rayon \(R\) de la sphère circonscrite :
\[ R = \frac{D}{2} = \frac{51,96\ \text{cm}}{2} \approx 25,98\ \text{cm} \]
Arrondi :
On peut arrondir à deux décimales pour simplifier.
\[ R \approx 25,98\ \text{cm} \]
2. Rayon de la sphère inscrite
Définition :
La sphère inscrite dans un cube est une sphère qui touche toutes les
faces du cube. Le rayon de cette sphère est égal à la moitié de la
longueur d’une arête du cube.
Étapes de calcul :
Calcul du rayon \(r\) de la sphère inscrite :
\[ r = \frac{a}{2} = \frac{30\ \text{cm}}{2} = 15\ \text{cm} \]
Réponse finale :
Énoncé : Quelle est la mesure de l’arête d’un cube inscrit dans une sphère de rayon \(r\) ?
Définition :
Un cube inscrit dans une sphère est un cube dont les sommets touchent la
sphère. La relation entre la longueur de l’arête du cube \(a\) et le rayon \(r\) de la sphère est basée sur la diagonale
du cube.
Étapes de calcul :
Relation entre la diagonale du cube et le rayon de la sphère circonscrite :
Comme dans la partie a), la diagonale \(D\) du cube est liée au rayon \(r\) de la sphère circonscrite par :
\[ D = 2r \]
Expression de la diagonale en fonction de l’arête :
\[ D = a \times \sqrt{3} \]
Établissement de l’égalité et résolution pour \(a\) :
\[ a \times \sqrt{3} = 2r \]
\[ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} \]
Rationalisation du dénominateur :
Pour simplifier l’expression, on peut rationaliser le dénominateur :
\[ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2r\sqrt{3}}{3} \]
Réponse finale :
\[ \boxed{a = \dfrac{2\,r\,\sqrt{3}}{3}} \]