Exercice 4

Question : Construis deux développements distincts d’une pyramide carrée dont la base est un carré de côté \(6\,\text{cm}\), et les faces latérales sont des triangles isocèles ayant des côtés égaux de \(7\,\text{cm}\).

Réponse

Résumé très court de la correction : On construit une pyramide à base carrée de 6 cm de côté avec 4 triangles isocèles (base 6 cm, côtés 7 cm). Deux développements sont possibles : en « croix » (un triangle sur chaque côté du carré) ou en « T décalé » (trois triangles attachés directement au carré et le quatrième sur l’un des triangles). Vérifiez les mesures et pliez le développement pour reconstituer la pyramide.

Corrigé détaillé

Nous allons construire la « carte » (développement) d’une pyramide carrée dont la base est un carré de 6 cm de côté et dont les faces latérales sont 4 triangles isocèles, ayant pour base 6 cm et pour côtés égaux 7 cm. Comme il existe plusieurs façons de disposer ces 5 pièces (la base et les 4 triangles) dans le plan, voici deux agencements différents, expliqués étape par étape.

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Exemple 1 : Le développement en « croix »
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1. Départ – la base :
   • Dessinez un carré de 6 cm de côté.
   • Ce carré représentera la base de la pyramide.

2. Construction des triangles latéraux :
   • Sur chacun des 4 côtés du carré, construisez un triangle isocèle dont :
     – La base est le côté du carré (6 cm).
     – Les deux côtés égaux mesurent chacun 7 cm.
   • Pour dresser chaque triangle, placez la base sur le côté du carré et, à partir de ses deux extrémités, tracez deux segments de 7 cm qui se rejoignent en un sommet commun situé à l’extérieur du carré.

3. Agencement final du développement :
   • Vous obtenez un développement en forme de croix, avec le carré central et 4 triangles attachés, un sur chaque côté.
   • Ce développement permet, par pliage le long des bords communs, de reconstituer la pyramide.

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Exemple 2 : Le développement en « T décalé »
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Dans cet agencement, trois triangles seront attachés directement au carré et le quatrième sera placé sur l’un des triangles, ce qui est également un développement valide de la pyramide.

1. Départ – la base :
   • Dessinez à nouveau un carré de 6 cm de côté, qui sera la base.

2. Attacher trois triangles directement au carré :
   • Choisissez trois côtés consécutifs du carré (par exemple, le côté supérieur, le côté droit et le côté inférieur).
   • Sur chacun de ces trois côtés, construisez un triangle isocèle dont la base est ce côté (6 cm) et dont les côtés égaux mesurent 7 cm.
   • Pour chaque triangle, en partant des extrémités du côté choisi, tracez les deux segments de 7 cm se rejoignant en un point extérieur au carré, de sorte que le triangle se déploie vers l’extérieur du carré.

3. Placer le quatrième triangle sur l’un des triangles déjà tracés :
   • Sur le côté du triangle qui attache au carré, choisissez par exemple le triangle construit sur le côté inférieur du carré.
   • Sur l’arête libre opposée à celle commune avec le carré, construisez un nouveau triangle isocèle de base 6 cm (cette base correspond à l’un des côtés du triangle déjà existant) et de côtés égaux de 7 cm.
   • Vous obtenez ainsi un développement en « T » décalé, où le quatrième triangle n’est pas directement relié au carré mais est attaché à l’un des triangles précédemment construits.

4. Vérification du pliage :
   • Avec ce développement, en repliant d’abord les triangles attachés au carré et ensuite en repliant le quatrième triangle sur le triangle auquel il est attaché, vous obtiendrez la pyramide carrée recherchée.

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Remarques complémentaires :

• Pour chacune des constructions, vérifiez bien les mesures : le carré doit être de 6 cm de côté et pour chaque triangle la base est de 6 cm et les deux côtés égaux valent 7 cm.
• Le choix de l’agencement (formes en croix, en T décalé, etc.) n’affecte pas la solidité de la pyramide lorsqu’elle sera reconstituée, mais il influence la manière dont le développement se replie.

Ces deux développements, l’un en croix et l’autre en T décalé, sont deux solutions différentes pour obtenir la carte complète de la pyramide. Leur étude montre qu’en géométrie il existe plusieurs manières de représenter un solide en vue de sa fabrication par découpage et pliage.