Résumé des réponses :
\(5\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{3}{5}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{9}\)
Étapes de la solution :
Utiliser la propriété des racines d’un même indice : \[ \sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{125 \times 5} \]
Multiplier les nombres sous la racine : \[ 125 \times 5 = 625 \] Donc, \[ \sqrt[4]{125 \times 5} = \sqrt[4]{625} \]
Simplifier la racine : Sachant que \(625 = 5^4\), \[ \sqrt[4]{5^4} = 5 \]
Réponse finale : \(5\)
Étapes de la solution :
Utiliser la propriété des racines carrées d’un même indice : \[ \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3} \times \frac{1}{6}} \]
Multiplier les fractions : \[ \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2 \times 1}{3 \times 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \] Donc, \[ \sqrt{\frac{1}{9}} \]
Simplifier la racine : \[ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} \]
Réponse finale : \(\frac{1}{3}\)
Étapes de la solution :
Utiliser la propriété des racines cubiques d’un même indice : \[ \sqrt[3]{\frac{9}{25}} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{5}} = \sqrt[3]{\frac{9}{25} \times \frac{3}{5}} \]
Multiplier les fractions : \[ \frac{9}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{9 \times 3}{25 \times 5} = \frac{27}{125} \] Donc, \[ \sqrt[3]{\frac{27}{125}} \]
Simplifier la racine : Sachant que \(27 = 3^3\) et \(125 = 5^3\), \[ \sqrt[3]{\frac{3^3}{5^3}} = \frac{3}{5} \]
Réponse finale : \(\frac{3}{5}\)
Étapes de la solution :
Utiliser la propriété des racines d’un même indice : \[ \sqrt[4]{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{16}} = \sqrt[4]{\frac{1}{5} \times \frac{5}{16}} \]
Multiplier les fractions : \[ \frac{1}{5} \times \frac{5}{16} = \frac{1 \times 5}{5 \times 16} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} \] Donc, \[ \sqrt[4]{\frac{1}{16}} \]
Simplifier la racine : Sachant que \(16 = 2^4\), \[ \sqrt[4]{\frac{1}{2^4}} = \frac{1}{2} \]
Réponse finale : \(\frac{1}{2}\)
Étapes de la solution :
Utiliser la propriété des racines d’un même indice : \[ \sqrt[4]{\frac{1}{8}} \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{8} \times \frac{1}{2}} \]
Multiplier les fractions : \[ \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \] Donc, \[ \sqrt[4]{\frac{1}{16}} \]
Simplifier la racine : Sachant que \(16 = 2^4\), \[ \sqrt[4]{\frac{1}{2^4}} = \frac{1}{2} \]
Réponse finale : \(\frac{1}{2}\)
Étapes de la solution :
Utiliser la propriété des racines cubiques d’un même indice : \[ \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \sqrt[3]{\frac{1}{3} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{27}} \]
Multiplier les fractions : \[ \frac{1}{3} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{1 \times 1 \times 1}{3 \times 9 \times 27} = \frac{1}{729} \] Donc, \[ \sqrt[3]{\frac{1}{729}} \]
Simplifier la racine : Sachant que \(729 = 9^3\), \[ \sqrt[3]{\frac{1}{9^3}} = \frac{1}{9} \]
Réponse finale : \(\frac{1}{9}\)