Question : Vrai ou faux ?
\(\sqrt{m + n} = \sqrt{m} + \sqrt{n}\)
\(\sqrt{m} \times \sqrt{n} = \sqrt{m \times n}\)
\((\sqrt{m})^{2} = m\) pour \(m \geq 0\)
\(\sqrt{\dfrac{m}{n}} = \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}\)
Réponses :
Faux.
Vrai.
Vrai.
Vrai.
Faux.
Explication :
L’égalité \(\sqrt{m + n} = \sqrt{m} + \sqrt{n}\) n’est pas toujours vraie. Pour vérifier cela, prenons un exemple simple.
Exemple :
Choisissons \(m = 4\) et \(n = 9\).
Calculons \(\sqrt{m + n}\) : \[ \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3,6055 \]
Calculons \(\sqrt{m} + \sqrt{n}\) : \[ \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \]
On observe que \(3,6055 \neq 5\). Donc, l’égalité n’est pas vérifiée.
Conclusion : L’égalité \(\sqrt{m + n} = \sqrt{m} + \sqrt{n}\) est fausse en général.
Vrai.
Explication :
Cette propriété est une règle fondamentale des racines carrées. Elle stipule que le produit des racines carrées de deux nombres est égal à la racine carrée du produit de ces nombres.
Étapes de la démonstration :
Soient \(m\) et \(n\) deux nombres positifs ou nuls.
Calculons \(\sqrt{m} \times \sqrt{n}\) : \[ \sqrt{m} \times \sqrt{n} = \sqrt{m} \sqrt{n} \]
En utilisant la propriété des puissances, on sait que : \[ \sqrt{m} \sqrt{n} = \sqrt{m \times n} \]
Exemple :
Prenons \(m = 4\) et \(n = 9\).
Calculons \(\sqrt{m} \times \sqrt{n}\) : \[ \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 \]
Calculons \(\sqrt{m \times n}\) : \[ \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 \]
Les deux calculs donnent le même résultat, confirmant ainsi la validité de l’égalité.
Conclusion : L’égalité \(\sqrt{m} \times \sqrt{n} = \sqrt{m \times n}\) est vraie.
Vrai.
Explication :
Élever une racine carrée au carré ramène le nombre initial sous la racine.
Étapes de la démonstration :
Soit \(m\) un nombre réel tel que \(m \geq 0\).
Calculons \((\sqrt{m})^{2}\) : \[ (\sqrt{m})^{2} = \sqrt{m} \times \sqrt{m} \]
En appliquant la propriété des racines carrées (comme démontré dans la partie b), on a : \[ \sqrt{m} \times \sqrt{m} = \sqrt{m \times m} = \sqrt{m^{2}} = m \]
Exemple :
Prenons \(m = 16\).
Le résultat est bien égal à \(m\).
Conclusion : L’égalité \((\sqrt{m})^{2} = m\) est vraie pour tout \(m \geq 0\).
Vrai.
Explication :
Cette propriété permet de séparer la racine carrée d’un quotient en un quotient de racines carrées.
Étapes de la démonstration :
Soient \(m\) et \(n\) deux nombres positifs ou nuls, avec \(n \neq 0\).
Calculons \(\sqrt{\dfrac{m}{n}}\) : \[ \sqrt{\dfrac{m}{n}} \]
En utilisant la propriété des racines carrées sur un quotient, on peut séparer la racine : \[ \sqrt{\dfrac{m}{n}} = \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} \]
Exemple :
Prenons \(m = 9\) et \(n = 16\).
Calculons \(\sqrt{\dfrac{9}{16}}\) : \[ \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4} \]
Calculons \(\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}\) : \[ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4} \]
Les deux calculs donnent le même résultat, confirmant ainsi la validité de l’égalité.
Conclusion : L’égalité \(\sqrt{\dfrac{m}{n}} = \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}\) est vraie pour tout \(m \geq 0\) et \(n > 0\).