Exercice 14

Question : Sans utiliser de calculatrice, encadre les racines suivantes entre deux nombres entiers.

1. \(\sqrt{1350}\)

2. \(\sqrt{0,64}\)

3. \(\sqrt{22}\)

4. \(\sqrt[3]{250}\)

5. \(\sqrt{999}\)

6. \(\sqrt{175}\)

7. \(\sqrt{5 \times 8}\)

8. \(\sqrt[3]{-512}\)

Réponse

1. √1350 est compris entre 36 et 37.
   
2. √0,64 = 0,8, donc il se situe entre 0 et 1.
   
3. √22 est encadré par 4 et 5.
   
4. ∛250 est compris entre 6 et 7.
   
5. √999 est encadré par 31 et 32.
   
6. √175 se situe entre 13 et 14.
   
7. √(5 × 8) = √40 est compris entre 6 et 7.
   
8. ∛(-512) = -8, donc -9 < -8 < -7.

Corrigé détaillé

Nous allons encadrer chacune des racines entre deux nombres entiers en comparant le nombre sous la racine avec des puissances entières.

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a) Encadrer √1350

1. On cherche deux entiers n et n + 1 tels que n² ≤ 1350 < (n + 1)².
   
2. Calculons quelques carrés :
     36² = 1296 et 37² = 1369.
   
3. On a donc : 1296 ≤ 1350 < 1369.
   
4. Ainsi, √1350 est compris entre 36 et 37.

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b) Encadrer √0,64

1. Remarquons que 0,64 = 64/100.
   
2. La racine carrée devient : √(64/100) = √64 / √100 = 8/10 = 0,8.
   
3. Le nombre 0,8 est exactement situé entre 0 et 1, car 0 < 0,8 < 1.
   
4. Ainsi, √0,64 est encadrée par 0 et 1.

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c) Encadrer √22

1. On cherche deux entiers n et n + 1 tels que n² ≤ 22 < (n + 1)².
   
2. Calculez :
     4² = 16 et 5² = 25.
   
3. Puisque 16 ≤ 22 < 25, on en déduit que √22 est compris entre 4 et 5.

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d) Encadrer ∛250

1. Pour la racine cubique, on cherche deux entiers n et n + 1 tels que n³ ≤ 250 < (n + 1)³.
   
2. Calculons :
     6³ = 216 et 7³ = 343.
   
3. Comme 216 ≤ 250 < 343, on obtient que ∛250 est compris entre 6 et 7.

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e) Encadrer √999

1. On recherche deux entiers n et n + 1 tels que n² ≤ 999 < (n + 1)².
   
2. Vérifions :
     31² = 961 et 32² = 1024.
   
3. On constate que 961 ≤ 999 < 1024, donc √999 est compris entre 31 et 32.

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f) Encadrer √175

1. Cherchons n et n + 1 tels que n² ≤ 175 < (n + 1)².
   
2. Calculons :
     13² = 169 et 14² = 196.
   
3. Puisque 169 ≤ 175 < 196, √175 se trouve entre 13 et 14.

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g) Encadrer √(5 × 8)

1. D’abord, calculez le produit : 5 × 8 = 40.
   
2. On souhaite encadrer √40.
   
3. Cherchons deux entiers n et n + 1 tels que n² ≤ 40 < (n + 1)².
   
4. Vérifions :
     6² = 36 et 7² = 49.
   
5. Comme 36 ≤ 40 < 49, on en déduit que √40 est compris entre 6 et 7.

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h) Encadrer ∛(-512)

1. Pour la racine cubique d’un nombre négatif, le raisonnement est similaire, sachant que la fonction cube est strictement croissante.
   
2. On cherche n et n + 1 tels que n³ ≤ -512 < (n + 1)³.
   
3. Cependant, remarquons que (-8)³ = -512 exactement.
   
4. Ainsi, ∛(-512) = -8.
   
5. Pour l’encadrer entre deux entiers consécutifs, on peut dire que le nombre -8 se situe exactement et est naturellement compris entre -9 et -7 (puisque -9 < -8 < -7).

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Récapitulatif des réponses :

a) 36 < √1350 < 37
b) 0 < √0,64 < 1 (puisque √0,64 = 0,8)
c) 4 < √22 < 5
d) 6 < ∛250 < 7
e) 31 < √999 < 32
f) 13 < √175 < 14
g) 6 < √40 < 7
h) ∛(-512) = -8 (ce qui signifie que -8 est l’unique valeur, et l’on peut aussi dire que -9 < -8 < -7)

Chaque encadrement a été obtenu en comparant le nombre sous la racine avec les puissances entières immédiatement inférieure et supérieure.