Exercice 13

Calculer, lorsque c’est possible, et donner, le cas échéant, le résultat sous forme de fraction irréductible :

1. \(\sqrt{144}\)
   
2. \(\sqrt[4]{81}\)
   
3. \(\sqrt[5]{\frac{32}{243}}\)
   
4. \(\sqrt{\frac{27}{75}}\)
   
5. \(\sqrt{0,25}\)
   
6. \(\sqrt{-36}\)
   
7. \(\sqrt[3]{-\frac{64}{125}}\)
   
8. \(\sqrt{0,09}\)
   
9. \(\sqrt[3]{\frac{128}{54}}\)

Réponse

Résumé des corrections des exercices :

1. \(\sqrt{144} = 12\)
2. \(\sqrt[4]{81} = 3\)
3. \(\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}\)
4. \(\sqrt{\frac{27}{75}} = \frac{3}{5}\)
5. \(\sqrt{0,25} = \frac{1}{2}\)
6. \(\sqrt{-36}\) n’a pas de solution réelle
7. \(\sqrt[3]{-\frac{64}{125}} = -\frac{4}{5}\)
8. \(\sqrt{0,09} = \frac{3}{10}\)
9. \(\sqrt[3]{\frac{128}{54}} = \frac{4}{3}\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices

1) Calculer \(\sqrt{144}\)

Étape 1 : Comprendre la racine carrée

La racine carrée de 144 est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144.

Étape 2 : Chercher le nombre

On sait que \(12 \times 12 = 144\).

Conclusion :

\[\sqrt{144} = 12\]

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2) Calculer \(\sqrt[4]{81}\)

Étape 1 : Comprendre la racine quatrième

La racine quatrième de 81 est le nombre qui, élevé à la puissance 4, donne 81.

Étape 2 : Facteuriser 81

\(81 = 3^4\)

Étape 3 : Appliquer la racine quatrième

\[\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3\]

Conclusion :

\[\sqrt[4]{81} = 3\]

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3) Calculer \(\sqrt[5]{\frac{32}{243}}\)

Étape 1 : Réécrire les nombres sous forme de puissances

\(32 = 2^5\) et \(243 = 3^5\)

Étape 2 : Appliquer la racine cinquième

\[\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}} = \frac{2}{3}\]

Conclusion :

\[\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}\]

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4) Calculer \(\sqrt{\frac{27}{75}}\)

Étape 1 : Simplifier la fraction

\[\frac{27}{75} = \frac{9}{25}\]

Étape 2 : Appliquer la racine carrée

\[\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}\]

Conclusion :

\[\sqrt{\frac{27}{75}} = \frac{3}{5}\]

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5) Calculer \(\sqrt{0,25}\)

Étape 1 : Convertir en fraction

\[0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\]

Étape 2 : Appliquer la racine carrée

\[\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}\]

Conclusion :

\[\sqrt{0,25} = \frac{1}{2}\]

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6) Calculer \(\sqrt{-36}\)

Étape 1 : Analyser le radical

La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel.

Conclusion :

Il n’existe pas de solution réelle pour \(\sqrt{-36}\).

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7) Calculer \(\sqrt[3]{-\frac{64}{125}}\)

Étape 1 : Réécrire les nombres sous forme de puissances

\(64 = 4^3\) et \(125 = 5^3\)

Étape 2 : Appliquer la racine cubique

\[\sqrt[3]{-\frac{64}{125}} = -\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}} = -\frac{4}{5}\]

Conclusion :

\[\sqrt[3]{-\frac{64}{125}} = -\frac{4}{5}\]

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8) Calculer \(\sqrt{0,09}\)

Étape 1 : Convertir en fraction

\[0,09 = \frac{9}{100}\]

Étape 2 : Appliquer la racine carrée

\[\sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10}\]

Conclusion :

\[\sqrt{0,09} = \frac{3}{10}\]

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9) Calculer \(\sqrt[3]{\frac{128}{54}}\)

Étape 1 : Simplifier la fraction

\[\frac{128}{54} = \frac{64}{27}\]

Étape 2 : Réécrire les nombres sous forme de puissances

\(64 = 4^3\) et \(27 = 3^3\)

Étape 3 : Appliquer la racine cubique

\[\sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{4}{3}\]

Conclusion :

\[\sqrt[3]{\frac{128}{54}} = \frac{4}{3}\]

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