Exercice de Mathématiques
Étant donné que \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\), \(\sqrt{6} \approx 2{,}4\), \(\sqrt{10} \approx 3{,}2\) et \(\sqrt{12} \approx 3{,}5\), estimez les nombres suivants :
\(\sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{12}\)
\(\sqrt{49}\)
\(\sqrt{121}\)
\(\sqrt{15}\)
\(\sqrt{900}\)
\(\sqrt{75}\)
\(\sqrt{7500}\)
\(\sqrt{0{,}09}\)
\(\sqrt{0{,}25}\)
\(\sqrt{100}\)
\(\sqrt{1000}\)
\(\sqrt{2250000}\)
\(\sqrt{4900}\)
\(\sqrt{60}\)
\(\sqrt{64}\)
\(\sqrt{108}\)
Vérifiez ensuite avec votre calculatrice.
Réduisez, si possible, les expressions suivantes :
\(5\,\sqrt{6} - 2\,\sqrt{6}\)
\(\sqrt{75} + \sqrt{147}\)
\(\sqrt{32} + \sqrt{98}\)
\(4\,\sqrt{18} - \sqrt{2} + \sqrt{50}\)
Réponses :
Partie 1 – Estimations : a) 10,8 b) 7 c) 11 d) ≈ 3,9 e) 30 f) ≈ 8,5 g) ≈ 85 h) 0,3 i) 0,5 j) 10 k) ≈ 32 l) 1500 m) 70 n) ≈ 7,8 o) 8 p) ≈ 10,2
Partie 2 – Réductions : a) 3√6 b) 12√3 c) 11√2 d) 16√2
Voici un corrigé détaillé qui explique pas à pas comment résoudre l’exercice proposé.
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Partie 1. Estimer les valeurs des racines
1.a) Calculer √3 + √6 + √10 + √12
• On vous donne les approximations suivantes :
√3 ≈ 1,7
√6 ≈ 2,4
√10 ≈ 3,2
√12 ≈ 3,5
• On additionne ces nombres :
1,7 + 2,4 = 4,1
4,1 + 3,2 = 7,3
7,3 + 3,5 = 10,8
• On estime donc :
√3 + √6 + √10 + √12 ≈ 10,8
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1.b) Calculer √49
• 49 est un carré parfait puisque 7² = 49
• Donc √49 = 7
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1.c) Calculer √121
• 121 est un carré parfait puisque 11² = 121
• Donc √121 = 11
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1.d) Estimer √15
• Le nombre 15 n’est pas un carré parfait. Cependant, on peut remarquer
que :
√16 = 4 (et √9 = 3)
• Comme 15 est proche de 16, on a :
√15 ≈ 3,9 (entre 3,8 et 4)
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1.e) Calculer √900
• 900 est un carré parfait puisque 30² = 900
• Donc √900 = 30
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1.f) Estimer √75
• On peut décomposer 75 en produit de 25 et 3 :
75 = 25 × 3
• Ainsi, √75 = √(25×3) = √25 × √3 = 5√3
• En utilisant l’approximation √3 ≈ 1,7, on obtient :
5√3 ≈ 5 × 1,7 = 8,5
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1.g) Estimer √7500
• On remarque que 7500 peut s’écrire sous la forme :
7500 = 75 × 100
• Alors, √7500 = √75 × √100
√100 = 10
• Nous avons déjà trouvé que √75 ≈ 8,5, donc :
√7500 ≈ 8,5 × 10 = 85
• Autrement, on peut remarquer que 75 = 25 × 3 et suivre :
√7500 = √(25×3×100) = √(25) × √(100) × √3 = 5 × 10 × √3 = 50√3 ≈
50×1,7 = 85
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1.h) Calculer √0,09
• Remarquez que 0,09 = (0,3)² car 0,3 × 0,3 = 0,09
• Donc √0,09 = 0,3
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1.i) Calculer √0,25
• 0,25 = (0,5)² car 0,5 × 0,5 = 0,25
• Donc √0,25 = 0,5
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1.j) Calculer √100
• 100 est un carré parfait puisque 10² = 100
• Donc √100 = 10
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1.k) Estimer √1000
• Écrivons 1000 comme 100 × 10 :
√1000 = √100 × √10
√100 = 10 et √10 ≈ 3,2
• Ainsi, √1000 ≈ 10 × 3,2 = 32
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1.l) Calculer √2250000
• On peut écrire 2250000 comme (225 × 10000)
• En effet, √2250000 = √225 × √10000
√225 = 15 (car 15² = 225) et √10000 = 100
• Donc, √2250000 = 15 × 100 = 1500
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1.m) Calculer √4900
• 4900 est un carré parfait puisque 70² = 4900
• Donc √4900 = 70
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1.n) Estimer √60
• On peut écrire 60 = 4 × 15
• Ainsi, √60 = √4 × √15 = 2√15
• En utilisant l’approximation √15 ≈ 3,9, on obtient :
2√15 ≈ 2 × 3,9 = 7,8
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1.o) Calculer √64
• 64 est un carré parfait puisque 8² = 64
• Donc √64 = 8
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1.p) Estimer √108
• Décomposons 108 en 36 × 3
• Ainsi, √108 = √36 × √3 = 6√3
• Avec √3 ≈ 1,7, cela donne :
6√3 ≈ 6 × 1,7 = 10,2
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Vérification avec une calculatrice
Après vos estimations, il est conseillé de vérifier les calculs avec une
calculatrice pour confirmer ces valeurs approchées.
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Partie 2. Réduire, si possible, les expressions
2.a) Réduire 5√6 - 2√6
• Les deux termes contiennent la même racine √6.
• On regroupe en soustrayant les coefficients :
5 - 2 = 3
• On obtient :
5√6 - 2√6 = 3√6
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2.b) Réduire √75 + √147
• Pour √75 :
75 = 25 × 3
√75 = √25 × √3 = 5√3
• Pour √147 :
147 = 49 × 3
√147 = √49 × √3 = 7√3
• En additionnant ces deux résultats, on obtient :
5√3 + 7√3 = (5 + 7)√3 = 12√3
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2.c) Réduire √32 + √98
• Pour √32 :
32 = 16 × 2
√32 = √16 × √2 = 4√2
• Pour √98 :
98 = 49 × 2
√98 = √49 × √2 = 7√2
• En additionnant :
4√2 + 7√2 = (4 + 7)√2 = 11√2
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2.d) Réduire 4√18 - √2 + √50
• Pour 4√18 :
18 = 9 × 2
√18 = √9 × √2 = 3√2
4√18 = 4 × 3√2 = 12√2
• Pour √50 :
50 = 25 × 2
√50 = √25 × √2 = 5√2
• Maintenant, l’expression devient :
12√2 - √2 + 5√2
• Regroupons les termes qui contiennent √2 :
(12 - 1 + 5)√2 = 16√2
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Conclusion
• Partie 1 (estimations) :
a) √3 + √6 + √10 + √12 ≈ 10,8
b) √49 = 7
c) √121 = 11
d) √15 ≈ 3,9
e) √900 = 30
f) √75 ≈ 8,5
g) √7500 ≈ 85
h) √0,09 = 0,3
i) √0,25 = 0,5
j) √100 = 10
k) √1000 ≈ 32
l) √2250000 = 1500
m) √4900 = 70
n) √60 ≈ 7,8
o) √64 = 8
p) √108 ≈ 10,2
• Partie 2 (réductions) :
a) 5√6 - 2√6 = 3√6
b) √75 + √147 = 12√3
c) √32 + √98 = 11√2
d) 4√18 - √2 + √50 = 16√2
Vous pouvez maintenant vérifier ces résultats avec votre calculatrice pour être certain de leur exactitude.