Exercice 11

Question : Calculez les expressions suivantes :

1. \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}\)

2. \(\sqrt{(-4)^{2}}\)

3. \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{675}\)

4. \((\sqrt{19})^{2}\)

5. \(\sqrt{196 \cdot 25}\)

6. \(\sqrt{2025}\)

7. \(\sqrt{100} + \sqrt{144}\)

8. \(\sqrt{18} : \sqrt{2}\)

9. \(\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{81}}\)

10. \(\sqrt{36} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{16}\)

Réponse

Réponses :

a) 5
b) 4
c) 45
d) 19
e) 70
f) 45
g) 22
h) 3
i) \(\dfrac{8}{9}\)
j) 72

Corrigé détaillé

Correction des exercices de calcul des expressions avec des racines carrées

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a) \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}\)

Étapes de résolution :

1. Comprendre la propriété des racines carrées :

   Lorsque vous multipliez la racine carrée d’un nombre par elle-même, le résultat est ce nombre. C’est-à-dire que \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\).

2. Appliquer la propriété :

   \[\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\]

Réponse : \(5\)

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b) \(\sqrt{(-4)^{2}}\)

Étapes de résolution :

1. Calculer l’exponentiation :

   \((-4)^{2} = (-4) \times (-4) = 16\)

2. Calculer la racine carrée :

   \[\sqrt{16} = 4\]

Réponse : \(4\)

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c) \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{675}\)

Étapes de résolution :

1. Utiliser la propriété des racines carrées pour multiplier :

   \[\sqrt{3} \cdot \sqrt{675} = \sqrt{3 \times 675}\]

2. Effectuer la multiplication sous la racine :

   \[3 \times 675 = 2025\]

   Donc,

   \[\sqrt{3 \times 675} = \sqrt{2025}\]

3. Calculer la racine carrée de 2025 :

   \[\sqrt{2025} = 45\]

Réponse : \(45\)

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d) \((\sqrt{19})^{2}\)

Étapes de résolution :

1. Comprendre la propriété des puissances et des racines carrées :

   Quand une racine carrée est élevée au carré, le résultat est le nombre sous la racine.

   \[\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a\]

2. Appliquer la propriété :

   \[\left(\sqrt{19}\right)^{2} = 19\]

Réponse : \(19\)

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e) \(\sqrt{196 \cdot 25}\)

Étapes de résolution :

1. Effectuer la multiplication sous la racine :

   \[196 \times 25 = 4900\]

2. Calculer la racine carrée de 4900 :

   \[\sqrt{4900} = 70\]

Réponse : \(70\)

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f) \(\sqrt{2025}\)

Étapes de résolution :

1. Trouver un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 2025.

   \[45 \times 45 = 2025\]

2. Donc, la racine carrée de 2025 est :

   \[\sqrt{2025} = 45\]

Réponse : \(45\)

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g) \(\sqrt{100} + \sqrt{144}\)

Étapes de résolution :

1. Calculer chaque racine carrée séparément :

   \[\sqrt{100} = 10\]

   \[\sqrt{144} = 12\]

2. Additionner les résultats obtenus :

   \[10 + 12 = 22\]

Réponse : \(22\)

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h) \(\sqrt{18} : \sqrt{2}\)

Étapes de résolution :

1. Comprendre le symbole “:” comme une division :

   \[\sqrt{18} : \sqrt{2} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\]

2. Simplifier l’expression en utilisant la propriété des racines carrées :

   \[\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9}\]

3. Calculer la racine carrée de 9 :

   \[\sqrt{9} = 3\]

Réponse : \(3\)

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i) \(\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{81}}\)

Étapes de résolution :

1. Calculer chaque racine carrée séparément :

   \[\sqrt{64} = 8\]

   \[\sqrt{81} = 9\]

2. Effectuer la division :

   \[\frac{8}{9}\]

Réponse : \(\dfrac{8}{9}\)

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j) \(\sqrt{36} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{16}\)

Étapes de résolution :

1. Calculer chaque racine carrée séparément :

   \[\sqrt{36} = 6\]

   \[\sqrt{9} = 3\]

   \[\sqrt{16} = 4\]

2. Multiplier les résultats obtenus :

   \[6 \times 3 \times 4\]

3. Effectuer les multiplications étape par étape :

   \[6 \times 3 = 18\]

   \[18 \times 4 = 72\]

Réponse : \(72\)

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