\(\sqrt{25 + 16} =\)
\(\sqrt{\dfrac{25}{16}} =\)
\(\sqrt{25 \times 16} =\)
\(\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{128}} =\)
\(\sqrt{2025} =\)
\(\dfrac{4 \sqrt{18}}{\sqrt{2}} =\)
\(\sqrt{0,64} =\)
\(\sqrt[3]{8 \times 343} =\)
\(\sqrt{32} + \sqrt{8} =\)
\(\sqrt{32} \times \sqrt{72} =\)
\(\sqrt{144 - 81} =\)
\(\dfrac{\sqrt{45}}{12 \sqrt{5}} =\)
\(7^{2} + 3^{2} =\)
\(\sqrt{3600} =\)
\(\sqrt{81 + 49} =\)
\(5 \times 6^{3} \times 3^{2} \times 2^{3} =\)
\((\sqrt{14 \times 6})^{2} =\)
\(\sqrt[3]{125 \times 343} =\)
\(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{108}} =\)
\(\sqrt{4} \times \sqrt{64} =\)
\(0,0000453 \times 8000000 =\)
\(30 \times 10^{5} + 5 \times 10^{6} =\)
\(\dfrac{85 \times 10^{7}}{10^{-4} \times 5} =\)
Quelle est la probabilité de :
Obtenir un nombre impair en lançant un dé conventionnel à six faces ?
Tirer une fille en sélectionnant un nom dans une liste comprenant quinze filles et dix garçons ?
Tirer une boule bleue d’un sac contenant des boules bleues, vertes et jaunes ?
Peut-on prédire avec certitude si, en lançant un dé à vingt faces, le résultat sera supérieur à dix ?
Une classe souhaite organiser une sortie scolaire. Les propositions d’activités sont les suivantes :
ACTIVITÉ
TRANSPORT
REPAS
Sachant qu’une sortie se compose d’une activité, d’un mode de transport et d’un repas, combien de combinaisons différentes est-il possible de composer à partir de ces propositions ?
Réponses succinctes :
PARTIE I – CALCUL ASTUCIEUX
a) √41 b) 5⁄4 c) 20 d) 1⁄4 e) 45 f) 12 g) 0,8 h) 14 i) 6√2 j)
48 k) 3√7 l) 1⁄4
PARTIE II – RESSOURCES EN LIGNE
1.a) 58 1.b) 60 1.c) √130 1.d) 77 760 1.e) 84 1.f) 35 1.g)
1⁄3 1.h) 16
2.a) 3,624 × 10² 2.b) 8 × 10⁶ 2.c) 1,7 × 10¹²
3. 5,0 × 10²² atomes
PARTIE III – ACTIVITÉS
1.a) 1⁄2 1.b) 3⁄5 1.c) (nombre de boules bleues)/(nombre total de
boules)
2. Non, on ne peut pas prédire avec certitude
3. 8 combinaisons
Nous allons expliquer en détail, étape par étape, comment obtenir chacune des réponses aux exercices proposés. Chaque partie se décompose en plusieurs étapes simples.
────────────────────────────── PARTIE I – CALCUL ASTUCIEUX
a) √(25 + 16)
1. On calcule d’abord ce qui se trouve sous la racine : 25 + 16 =
41.
2. On écrit ensuite √41.
Réponse : √41
────────────────────────────── b) √(25⁄16)
1. Utilisez la propriété de la racine qui dit que √(a⁄b) = √a⁄√b (pour
a et b positifs).
2. On a √25 = 5 et √16 = 4.
3. Ainsi, √(25⁄16) = 5⁄4.
Réponse : 5⁄4
────────────────────────────── c) √(25 × 16)
1. Calculer le produit sous la racine : 25 × 16 = 400.
2. Remarquez que 400 est un carré parfait puisque 20² = 400.
3. Donc, √400 = 20.
Réponse : 20
────────────────────────────── d) (√8)⁄(√128)
1. Simplifions √8. Comme 8 = 4×2, on a √8 = √4 × √2 = 2√2.
2. Simplifions √128. Comme 128 = 64×2 et 64 = 8², on a √128 = √64 × √2
= 8√2.
3. Le rapport devient (2√2)⁄(8√2). Les √2 se simplifient : (2⁄8) =
1⁄4.
Réponse : 1⁄4
────────────────────────────── e) √2025
1. On reconnaît que 2025 est un carré parfait car 45² = 2025.
2. Donc, √2025 = 45.
Réponse : 45
────────────────────────────── f) (4√18)⁄(√2)
1. Simplifions √18 : 18 = 9 × 2 donc √18 = √9 × √2 = 3√2.
2. Le numérateur devient 4 × 3√2 = 12√2.
3. Le rapport est alors (12√2)⁄(√2). On simplifie en annulant √2, ce
qui donne 12.
Réponse : 12
────────────────────────────── g) √0,64
1. On peut écrire 0,64 comme 64⁄100.
2. Ainsi, √0,64 = √(64⁄100) = √64⁄√100 = 8⁄10 = 4⁄5.
3. En notation décimale, 4⁄5 = 0,8.
Réponse : 0,8
────────────────────────────── h) ∛(8 × 343)
1. Remarquez que 8 = 2³ et 343 = 7³.
2. Leur produit s’écrit (2³ × 7³) = (2 × 7)³ = 14³.
3. La racine cubique de 14³ est 14.
Réponse : 14
────────────────────────────── i) √32 + √8
1. Simplifions √32 : 32 = 16×2, donc √32 = √16 × √2 = 4√2.
2. Simplifions √8 : 8 = 4×2, donc √8 = √4 × √2 = 2√2.
3. La somme donne 4√2 + 2√2 = 6√2.
Réponse : 6√2
────────────────────────────── j) √32 × √72
1. Utilisons la propriété : √32 × √72 = √(32×72).
2. Calculons le produit : 32 × 72 = 2304.
3. On reconnaît que 48² = 2304, donc √2304 = 48.
Réponse : 48
────────────────────────────── k) √(144 − 81)
1. Calculez 144 − 81 = 63.
2. On a donc √63.
3. Pour simplifier, on écrit 63 = 9×7, donc √63 = √9 × √7 = 3√7.
Réponse : 3√7
────────────────────────────── l) (√45)⁄(12√5)
1. Simplifions √45 : 45 = 9×5, donc √45 = √9 × √5 = 3√5.
2. Le rapport devient (3√5)⁄(12√5). Les √5 se simplifient et l’on
obtient 3⁄12 = 1⁄4.
Réponse : 1⁄4
────────────────────────────── PARTIE II – RESSOURCES EN LIGNE
a) 7² + 3²
1. Calculons 7² = 49 et 3² = 9.
2. La somme est 49 + 9 = 58.
Réponse : 58
b) √3600
1. 3600 est un carré parfait car 60² = 3600.
2. Ainsi, √3600 = 60.
Réponse : 60
c) √(81 + 49)
1. Effectuez la somme sous la racine : 81 + 49 = 130.
2. La réponse s’écrit donc √130 (on peut laisser sous forme
exacte).
Réponse : √130
d) 5 × 6³ × 3² × 2³
1. Calculons chaque puissance :
– 6³ = 216
– 3² = 9
– 2³ = 8
2. Le produit est alors 5 × 216 × 9 × 8.
3. Calculons étape par étape :
– 216 × 9 = 1944
– 1944 × 8 = 15 552
– 15 552 × 5 = 77 760
Réponse : 77 760
e) (√(14 × 6))²
1. Le produit dans la racine est 14 × 6 = 84.
2. L’expression devient (√84)².
3. L’opération « carrée suivie d’une racine carrée » annule l’effet de
la racine, on obtient donc 84.
Réponse : 84
f) ∛(125 × 343)
1. On sait que 125 = 5³ et 343 = 7³.
2. Leur produit est (5³ × 7³) = (5×7)³ = 35³.
3. La racine cubique de 35³ est 35.
Réponse : 35
g) (√12)⁄(√108)
1. Simplifions √12 : 12 = 4×3, donc √12 = √4 × √3 = 2√3.
2. Simplifions √108 : 108 = 36×3, donc √108 = √36 × √3 = 6√3.
3. Le rapport devient (2√3)⁄(6√3) = 2⁄6 = 1⁄3.
Réponse : 1⁄3
h) √4 × √64
1. Calculons √4 = 2 et √64 = 8.
2. Le produit est 2 × 8 = 16.
Réponse : 16
────────────────────────────── 2. DONNE LE RÉSULTAT EN NOTATION SCIENTIFIQUE
a) 0,0000453 × 8 000 000
1. Écrivons chaque nombre en notation scientifique :
– 0,0000453 = 4,53 × 10⁻⁵
– 8 000 000 = 8 × 10⁶
2. Le produit est : 4,53 × 8 = 36,24, et les puissances se combinent
(10⁻⁵ × 10⁶ = 10¹).
3. On obtient 36,24 × 10¹. Pour être conforme à la notation
scientifique, on écrit ce nombre sous la forme d’un chiffre entre 1 et
10 : 36,24 × 10¹ = 3,624 × 10².
Réponse : 3,624 × 10²
b) 30 × 10⁵ + 5 × 10⁶
1. Il est commode d’exprimer les deux termes avec la même puissance de
10.
2. On remarque que 30 × 10⁵ = 3 × 10⁶ (puisque 30 = 3 × 10 et 10 × 10⁵
= 10⁶).
3. La somme devient 3 × 10⁶ + 5 × 10⁶ = 8 × 10⁶.
Réponse : 8 × 10⁶
c) (85 × 10⁷)⁄(10⁻⁴ × 5)
1. Réorganisons l’expression : (85⁄5) × (10⁷⁄10⁻⁴).
2. Calculons d’abord 85⁄5 = 17.
3. Pour les puissances de 10, 10⁷⁄10⁻⁴ = 10^(7 – (–4)) = 10¹¹.
4. On obtient 17 × 10¹¹. Pour mettre en notation scientifique, 17
s’écrit 1,7 × 10, ce qui donne 1,7 × 10¹².
Réponse : 1,7 × 10¹²
────────────────────────────── 3. ATOMES DE CARBONE
Question : Combien y a-t-il d’atomes de carbone dans un gramme de graphite sachant que la masse d’un atome est de 2,0 × 10⁻²⁶ kg ?
1. Tout d’abord, convertissons 1 gramme en kilogrammes.
– 1 g = 1 × 10⁻³ kg.
2. Le nombre d’atomes est obtenu en divisant la masse totale par la
masse d’un atome :
Nombre d’atomes = (1 × 10⁻³ kg)⁄(2,0 × 10⁻²⁶ kg).
3. En divisant, on fait : (1⁄2,0) × 10^(–3 – (–26)) = 0,5 × 10²³.
4. Pour respecter la notation scientifique en ayant un chiffre entre 1
et 10, on écrit 0,5 × 10²³ = 5,0 × 10²².
Réponse : 5,0 × 10²² atomes
────────────────────────────── PARTIE III – ACTIVITÉS
a) Obtenir un nombre impair en lançant un dé conventionnel à six
faces
1. Les faces du dé sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
2. Les nombres impairs sont : 1, 3 et 5 (3 issues possibles).
3. La probabilité est le nombre de cas favorables divisé par le nombre
total de cas : 3⁄6 = 1⁄2.
Réponse : 1⁄2
b) Tirer une fille dans une liste comprenant 15 filles et 10
garçons
1. Le nombre total de personnes est 15 + 10 = 25.
2. Le nombre de cas favorables (filles) est 15.
3. La probabilité = 15⁄25 = 3⁄5.
Réponse : 3⁄5
c) Tirer une boule bleue d’un sac contenant des boules bleues,
vertes et jaunes
1. La probabilité est calculée en divisant le nombre de boules bleues
par le nombre total de boules.
2. Or, l’énoncé ne donne pas les quantités de chaque couleur.
3. On conclut : la probabilité est égale à (nombre de boules
bleues)/(nombre total de boules) mais ne peut être précisée
numériquement sans cette information.
Réponse : La probabilité s’exprime en fonction des quantités de boules
bleues et du nombre total de boules.
────────────────────────────── 2. Prédiction d’un résultat lors du
lancer d’un dé à vingt faces
1. Un dé à vingt faces possède 20 issues possibles.
2. Pour obtenir un résultat supérieur à 10, il y a 10 issues possibles
(les nombres 11 à 20).
3. Même si la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 10 est de
10⁄20 = 1⁄2, le résultat d’un lancer ne peut être prédit avec
certitude.
Réponse : Non, on ne peut pas prédire avec certitude que le résultat
sera supérieur à 10.
────────────────────────────── 3. Combinaisons pour une sortie
scolaire
Les propositions sont réparties en trois catégories :
– ACTIVITÉ :
• Visite au musée
• Excursion au parc naturel => 2 choix
– TRANSPORT :
• En bus
• En minibus => 2 choix
– REPAS :
• Déjeuner au restaurant
• Pique-nique sur place => 2 choix
1. Utilisons le principe fondamental de dénombrement : le nombre total
de combinaisons est le produit du nombre de choix dans chaque
catégorie.
2. Il y a ainsi 2 × 2 × 2 = 8 combinaisons.
Réponse : 8 combinaisons
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
PARTIE I – CALCUL ASTUCIEUX
a) √41
b) 5⁄4
c) 20
d) 1⁄4
e) 45
f) 12
g) 0,8
h) 14
i) 6√2
j) 48
k) 3√7
l) 1⁄4
PARTIE II – RESSOURCES EN LIGNE
1.a) 58
1.b) 60
1.c) √130
1.d) 77 760
1.e) 84
1.f) 35
1.g) 1⁄3
1.h) 16
2.a) 3,624 × 10²
2.b) 8 × 10⁶
2.c) 1,7 × 10¹²
3. 5,0 × 10²² atomes
PARTIE III – ACTIVITÉS
1.a) 1⁄2
1.b) 3⁄5
1.c) La probabilité s’exprime par (nombre de boules bleues)/(nombre
total de boules)
2. Non, on ne peut pas prédire avec certitude que le résultat sera
supérieur à 10.
3. 8 combinaisons
Cette correction détaille chaque étape pour vous aider à comprendre la démarche de résolution de chacun des exercices.