Question : Simplifiez les expressions suivantes en extrayant le plus grand entier possible.
\(\sqrt{200}\)
\(\sqrt{98}\)
\(\sqrt{450}\)
\(\sqrt[3]{864}\)
\(\sqrt{625000}\)
\(3 \sqrt{270}\)
\(\sqrt{12} \cdot \sqrt{27}\)
\(\sqrt{24} + \sqrt{54}\)
\(\sqrt{16} \cdot \sqrt{144}\)
\(\sqrt{45} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{9}\)
\(\sqrt[3]{-64}\)
\(\sqrt[3]{216}\)
Les expressions radicalaires sont simplifiées en factorisant le radicande pour extraire les carrés ou cubes parfaits, puis en appliquant les propriétés des racines. Par exemple, √200 = 10√2 et √³864 = 6√³4.
Voici les corrections détaillées pour simplifier les expressions radicalaires en extrayant le plus grand entier possible.
Étapes : 1. Factoriser le nombre sous la racine en produits de facteurs premiers ou de carrés parfaits. \[ 200 = 100 \times 2 = 10^2 \times 2 \] 2. Appliquer la propriété de la racine carrée : \[ \sqrt{200} = \sqrt{10^2 \times 2} = \sqrt{10^2} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]
Étapes : 1. Factoriser 98 : \[ 98 = 49 \times 2 = 7^2 \times 2 \] 2. Appliquer la propriété de la racine carrée : \[ \sqrt{98} = \sqrt{7^2 \times 2} = \sqrt{7^2} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \]
Étapes : 1. Factoriser 450 en décomposant en carrés parfaits : \[ 450 = 225 \times 2 = 15^2 \times 2 \] 2. Appliquer la propriété de la racine carrée : \[ \sqrt{450} = \sqrt{15^2 \times 2} = \sqrt{15^2} \times \sqrt{2} = 15\sqrt{2} \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt{450} = 15\sqrt{2} \]
Étapes : 1. Factoriser 864 en décomposant en cubes parfaits : \[ 864 = 216 \times 4 = 6^3 \times 4 \] 2. Appliquer la propriété de la racine cubique : \[ \sqrt[3]{864} = \sqrt[3]{6^3 \times 4} = \sqrt[3]{6^3} \times \sqrt[3]{4} = 6\sqrt[3]{4} \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt[3]{864} = 6\sqrt[3]{4} \]
Étapes : 1. Factoriser 625000 en décomposant en carrés parfaits : \[ 625000 = 625 \times 1000 = 25^2 \times 10^3 \] Cependant, pour extraire le plus grand carré, on peut écrire : \[ 625000 = 62500 \times 10 = (250)^2 \times 10 \] 2. Appliquer la propriété de la racine carrée : \[ \sqrt{625000} = \sqrt{250^2 \times 10} = \sqrt{250^2} \times \sqrt{10} = 250\sqrt{10} \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt{625000} = 250\sqrt{10} \]
Étapes : 1. Factoriser 270 en décomposant en carrés parfaits : \[ 270 = 9 \times 30 = 3^2 \times 30 \] 2. Appliquer la propriété de la racine carrée : \[ \sqrt{270} = \sqrt{3^2 \times 30} = \sqrt{3^2} \times \sqrt{30} = 3\sqrt{30} \] 3. Multiplier par 3 : \[ 3 \times 3\sqrt{30} = 9\sqrt{30} \]
Réponse simplifiée : \[ 3 \sqrt{270} = 9\sqrt{30} \]
Étapes : 1. Multiplier les deux racines sous une seule racine : \[ \sqrt{12} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{12 \times 27} = \sqrt{324} \] 2. Calculer la racine carrée de 324 : \[ \sqrt{324} = 18 \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt{12} \cdot \sqrt{27} = 18 \]
Étapes : 1. Simplifier chaque racine séparément en extrayant les carrés parfaits : \[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \] \[ \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = \sqrt{9} \times \sqrt{6} = 3\sqrt{6} \] 2. Additionner les termes similaires : \[ 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} = (2 + 3)\sqrt{6} = 5\sqrt{6} \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt{24} + \sqrt{54} = 5\sqrt{6} \]
Étapes : 1. Calculer chaque racine carrée : \[ \sqrt{16} = 4 \] \[ \sqrt{144} = 12 \] 2. Multiplier les résultats : \[ 4 \times 12 = 48 \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt{16} \cdot \sqrt{144} = 48 \]
Étapes : 1. Simplifier chaque racine séparément : \[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \] \[ \sqrt{9} = 3 \] 2. Multiplier les termes : \[ 3\sqrt{5} \times \sqrt{5} \times 3 = 3 \times 3 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 9 \times \sqrt{25} = 9 \times 5 = 45 \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt{45} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{9} = 45 \]
Étapes : 1. Reconnaître que -64 est un cube parfait : \[ -64 = (-4)^3 \] 2. Appliquer la racine cubique : \[ \sqrt[3]{-64} = -4 \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt[3]{-64} = -4 \]
Étapes : 1. Reconnaître que 216 est un cube parfait : \[ 216 = 6^3 \] 2. Appliquer la racine cubique : \[ \sqrt[3]{216} = 6 \]
Réponse simplifiée : \[ \sqrt[3]{216} = 6 \]