Calculez les expressions suivantes :
Résumé des réponses :
Étape 1 : Utiliser la propriété des racines carrées
La propriété des racines carrées nous dit que pour tout nombre positif \(a\) et \(b\), \[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \] Appliquons cette propriété à notre expression.
Étape 2 : Multiplier les radicandes
\[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \times 27} = \sqrt{81} \]
Étape 3 : Calculer la racine carrée
\[ \sqrt{81} = 9 \]
Réponse : \(9\)
Étape 1 : Utiliser la propriété des racines cubiques
Pour les racines cubiques, la propriété est similaire à celle des racines carrées : \[ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \times b} \]
Étape 2 : Multiplier les radicandes
\[ \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5 \times 25} = \sqrt[3]{125} \]
Étape 3 : Calculer la racine cubique
\[ \sqrt[3]{125} = 5 \] (Car \(5 \times 5 \times 5 = 125\))
Réponse : \(5\)
Étape 1 : Utiliser la propriété des racines quatrièmes
Pour les racines de quatrième degré : \[ \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{a \times b} \]
Étape 2 : Multiplier les radicandes
\[ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \times 8} = \sqrt[4]{16} \]
Étape 3 : Calculer la racine quatrième
\[ \sqrt[4]{16} = 2 \] (Car \(2^4 = 16\))
Réponse : \(2\)
Étape 1 : Utiliser la propriété des racines carrées
\[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{48} = \sqrt{3 \times 48} = \sqrt{144} \]
Étape 2 : Calculer la racine carrée
\[ \sqrt{144} = 12 \]
Réponse : \(12\)
Étape 1 : Utiliser la propriété des racines carrées
\[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{2 \times 50} = \sqrt{100} \]
Étape 2 : Calculer la racine carrée
\[ \sqrt{100} = 10 \]
Réponse : \(10\)
Étape 1 : Utiliser la propriété des racines cubiques
\[ \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100} = \sqrt[3]{10 \times 100} = \sqrt[3]{1000} \]
Étape 2 : Calculer la racine cubique
\[ \sqrt[3]{1000} = 10 \] (Car \(10 \times 10 \times 10 = 1000\))
Réponse : \(10\)
Ces corrections détaillées expliquent chaque étape de manière claire et méthodique, facilitant ainsi la compréhension des calculs impliqués dans la multiplication des racines.