Simplifiez les expressions suivantes :
Résumé des Réponses
\((\sqrt{2})^{2} = 2\)
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3^{4}}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{243}\)
\(\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{8}) = 6\)
\(\sqrt[3]{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5}\)
\(\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt{4}} = 1\)
Voici la correction détaillée des exercices de simplification proposés.
Étape 1 : Comprendre l’expression
L’expression \((\sqrt{2})^{2}\) signifie que la racine carrée de 2 est élevée au carré.
Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances
Lorsque vous élevez une racine carrée au carré, vous annulez la racine. Mathématiquement, cela s’écrit : \[ (\sqrt{a})^{2} = a \]
Application : \[ (\sqrt{2})^{2} = 2 \]
Réponse : \[ (\sqrt{2})^{2} = 2 \]
Étape 1 : Utiliser la propriété des racines
Quand on divise deux racines carrées de même type, on peut les combiner sous une seule racine : \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \]
Application : \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} \quad (\text{en simplifiant} \ \frac{2}{8} = \frac{1}{4}) \]
Étape 2 : Calculer la racine carrée
\[ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \]
Réponse : \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2} \]
Étape 1 : Simplifier le numérateur
\[ \sqrt{3^{4}} = (3^{4})^{1/2} = 3^{4 \times \frac{1}{2}} = 3^{2} = 9 \]
Étape 2 : Simplifier le dénominateur
\[ \sqrt[3]{3} = 3^{1/3} \]
Étape 3 : Mettre l’expression sous forme de puissance
\[ \frac{9}{3^{1/3}} = 9 \times 3^{-1/3} = 3^{2} \times 3^{-1/3} = 3^{2 - \frac{1}{3}} = 3^{\frac{6}{3} - \frac{1}{3}} = 3^{\frac{5}{3}} \]
Étape 4 : Réécrire sous forme de racine
\[ 3^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{3^{5}} = \sqrt[3]{243} \]
Réponse : \[ \frac{\sqrt{3^{4}}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{243} \]
Étape 1 : Distribuer \(\sqrt{2}\)
\[ \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{8}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \]
Étape 2 : Calculer chaque terme
\[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2 \] \[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 \]
Étape 3 : Additionner les résultats
\[ 2 + 4 = 6 \]
Réponse : \[ \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{8}) = 6 \]
Étape 1 : Utiliser la propriété des racines de même indice
\[ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \times b} \]
Application : \[ \sqrt[3]{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{50}} = \sqrt[3]{\frac{2}{5} \times \frac{1}{50}} = \sqrt[3]{\frac{2 \times 1}{5 \times 50}} = \sqrt[3]{\frac{2}{250}} \]
Étape 2 : Simplifier la fraction
\[ \frac{2}{250} = \frac{1}{125} \]
Étape 3 : Calculer la racine cubique
\[ \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5} \]
Réponse : \[ \sqrt[3]{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5} \]
Étape 1 : Simplifier le numérateur
\[ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^{3}} = 2 \]
Étape 2 : Simplifier le dénominateur
\[ \sqrt{4} = 2 \]
Étape 3 : Effectuer la division
\[ \frac{2}{2} = 1 \]
Réponse : \[ \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt{4}} = 1 \]
\((\sqrt{2})^{2} = 2\)
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3^{4}}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{243}\)
\(\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{8}) = 6\)
\(\sqrt[3]{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5}\)
\(\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt{4}} = 1\)