Calculez \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}\).
Calculez \(\sqrt[3]{-5} \cdot \sqrt[3]{25}\).
Calculez \(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{-4}\).
Calculez \(\sqrt[5]{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt[5]{\dfrac{1}{16}}\).
Calculez \(\sqrt[8]{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt[8]{\dfrac{1}{128}}\).
Calculez \(\sqrt[6]{\dfrac{2}{4}} \cdot \sqrt[6]{\dfrac{1}{32}}\).
Réponses : 5, -5, -2, 1/2, 1/2, 1/2.
Voici la correction détaillée pour chacune des questions :
────────────────────────────── 1) Calcul de √5 × √5
Propriété utilisée : Pour tout nombre positif a, √a × √a = a.
Application :
√5 × √5 = 5
────────────────────────────── 2) Calcul de ∛(-5) × ∛25
Rappel : La propriété des racines cubiques permet de multiplier sous une même racine, c’est-à-dire ∛a × ∛b = ∛(a × b).
Application :
∛(-5) × ∛25 = ∛(-5 × 25)
Calculons le produit : -5 × 25 = -125
On a donc : ∛(-125)
Or, -125 = (-5)³, donc ∛(-125) = -5
────────────────────────────── 3) Calcul de ∛2 × ∛(-4)
Même propriété des racines cubiques :
∛2 × ∛(-4) = ∛(2 × (-4))
Calculons le produit : 2 × (-4) = -8
Or, -8 = (-2)³, donc ∛(-8) = -2
────────────────────────────── 4) Calcul de √5 × √5
Utilisons la propriété pour multiplier sous une même racine :
√5 × √5 = √5
Calculons le produit : (1/2) × (1/16) = 1/32
Observons que 32 = 2⁵, ainsi :
1/32 = 1/(2⁵)
La racine cinquième de 1/(2⁵) donne :
√5 = 1/2
────────────────────────────── 5) Calcul de √8 × √8
Même démarche :
√8 × √8 = √8
Calculons le produit : 1/2 × 1/128 = 1/256
Remarquons que 256 = 2⁸, donc :
1/256 = 1/(2⁸)
La racine huitième devient :
√8 = 1/2
────────────────────────────── 6) Calcul de √6 × √6
Première remarque, 2/4 simplifie en 1/2. Ainsi :
√6 × √6 = √6
Calculons le produit : 1/2 × 1/32 = 1/64
Sachant que 64 = 2⁶, on écrit :
1/64 = 1/(2⁶)
La racine sixième est alors :
√6 = 1/2
────────────────────────────── Réponses finales :
Ces corrections montrent pas à pas comment utiliser les propriétés des racines pour simplifier les expressions.