Calculez les expressions suivantes. Si nécessaire, exprimez le résultat sous forme de fraction irréductible ou de nombre entier :
Réponses :
1) 2i
2) -3
3) -4/7
4) 4i√2
5) Non défini dans ℝ
6) -4
Nous allons corriger chaque expression étape par étape en expliquant la démarche.
────────────────────────────── 1) √(-4)
Étape 1 : On reconnait que le nombre sous la racine est négatif. Pour une racine carrée, on peut écrire : √(-4) = √(4 × (-1)).
Étape 2 : On sépare la racine en utilisant la propriété √(a×b) = √a × √b (pour a, b positifs) et en notant que √(-1) est défini comme le nombre imaginaire i. √(-4) = √4 × √(-1) = 2i.
Ainsi, le résultat est : 2i.
────────────────────────────── 2) ∛(-27) (la racine cubique de -27)
Étape 1 : Pour la racine cubique, la présence d’un signe moins reste inchangée car (–a)³ = –(a³). On cherche donc le nombre dont le cube est -27.
Étape 2 : Sachant que 3³ = 27, on a : (-3)³ = -27.
Le résultat est donc : ∛(-27) = -3.
────────────────────────────── 3) -√(16/49)
Étape 1 : Calculez d’abord la racine carrée de la fraction. En utilisant la propriété √(a/b) = √a / √b, on obtient : √(16/49) = √16 / √49 = 4/7.
Étape 2 : Appliquez ensuite le signe négatif devant la racine : -√(16/49) = -4/7.
Le résultat est : -4/7.
────────────────────────────── 4) √(-32)
Étape 1 : Écrire -32 sous forme d’un produit d’un nombre positif et de -1 : √(-32) = √(32 × (-1)).
Étape 2 : Séparer la racine en utilisant la propriété √(a×b) = √a × √b et reconnaître que √(-1) = i : √(-32) = √32 × i.
Étape 3 : Simplifier √32. Remarquez que 32 = 16 × 2 et √16 = 4, donc : √32 = √(16×2) = √16 × √2 = 4√2.
En rassemblant, on obtient : √(-32) = 4√2 × i, soit 4i√2.
────────────────────────────── 5) ∜(-256) (la racine quatrième de -256)
Pour une racine d’ordre pair (ici 4ème), la racine d’un nombre
négatif n’est pas définie parmi les nombres réels.
Ainsi, dans ℝ (les nombres réels) : ∜(-256) n’est pas défini.
────────────────────────────── 6) -∜(256) (la négation de la racine quatrième de 256)
Étape 1 : Calculer la racine quatrième de 256. On sait que 4^4 = 256, ce qui signifie que : ∜(256) = 4.
Étape 2 : Appliquer le signe négatif devant la racine : -∜(256) = -4.
────────────────────────────── Récapitulatif des résultats :
Chaque résultat a été obtenu en appliquant les propriétés usuelles des racines et en respectant le domaine des nombres réels (lorsque nécessaire).