Exercice 2

Ces égalités sont-elles vraies ?

1. \(\sqrt{196} \stackrel{?}{=} \sqrt{14} \cdot \sqrt{14}\)
   
2. \(\sqrt{25 + 75} \stackrel{?}{=} \sqrt{25} + \sqrt{75}\)
   
3. \(\sqrt{16 \cdot 49} \stackrel{?}{=} \sqrt{16} \cdot \sqrt{49}\)
   
4. \(\sqrt{81 - 36} \stackrel{?}{=} \sqrt{81} - \sqrt{36}\)
   
5. \(\sqrt{25} \cdot \sqrt{64} \stackrel{?}{=} \sqrt{1600}\)
   
6. \(\sqrt{\frac{81}{9}} \stackrel{?}{=} \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}\)
   
7. \((\sqrt{36})^{2} \stackrel{?}{=} \sqrt{36} \cdot \sqrt{36}\)
   
8. \(64 \stackrel{?}{=} (\sqrt{64})^{2}\)
   
9. \(\sqrt[3]{8} \stackrel{?}{=} 2\)
   
10. \(\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{27} \stackrel{?}{=} 27\)
    
11. \(\sqrt{900} + \sqrt{100} \stackrel{?}{=} \sqrt{900 + 100}\)
    
12. \(\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{11}} \stackrel{?}{=} \sqrt{\frac{121}{11}}\)

Réponse

Résumé des corrections :

Les égalités a), c), e), f), g), h), i), j) et l) sont vraies.

Les égalités b), d) et k) sont fausses.

Corrigé détaillé

Corrections des Égalités

Nous allons examiner chaque égalité une par une pour déterminer si elle est vraie ou fausse. Pour ce faire, nous effectuerons les calculs nécessaires et appliquerons les propriétés des racines carrées et des puissances.

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a) \(\sqrt{196} \stackrel{?}{=} \sqrt{14} \cdot \sqrt{14}\)

Réponse : Vrai

Explication :

Appliquons les propriétés des racines carrées.

1. Calculons \(\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}\) : \[\sqrt{14} \times \sqrt{14} = \sqrt{14 \times 14} = \sqrt{196}\]

2. Ainsi, \[\sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = \sqrt{196}\]

L’égalité est donc vraie.

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b) \(\sqrt{25 + 75} \stackrel{?}{=} \sqrt{25} + \sqrt{75}\)

Réponse : Faux

Explication :

Calculons chaque côté de l’équation séparément.

1. Calcul du côté gauche : \[\sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10\]

2. Calcul du côté droit : \[\sqrt{25} + \sqrt{75} = 5 + \sqrt{75}\] Simplifions \(\sqrt{75}\) : \[\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\] Donc, \[5 + 5\sqrt{3} \approx 5 + 8.66 = 13.66\]

3. Comparaison : \[10 \neq 13.66\]

L’égalité est donc fausse.

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c) \(\sqrt{16 \cdot 49} \stackrel{?}{=} \sqrt{16} \cdot \sqrt{49}\)

Réponse : Vrai

Explication :

Appliquons la propriété \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\).

1. Calcul du côté gauche : \[\sqrt{16 \times 49} = \sqrt{784} = 28\]

2. Calcul du côté droit : \[\sqrt{16} \times \sqrt{49} = 4 \times 7 = 28\]

Les deux côtés sont égaux, l’égalité est donc vraie.

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d) \(\sqrt{81 - 36} \stackrel{?}{=} \sqrt{81} - \sqrt{36}\)

Réponse : Faux

Explication :

Calculons chaque côté de l’équation séparément.

1. Calcul du côté gauche : \[\sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6.71\]

2. Calcul du côté droit : \[\sqrt{81} - \sqrt{36} = 9 - 6 = 3\]

3. Comparaison : \[6.71 \neq 3\]

L’égalité est donc fausse.

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e) \(\sqrt{25} \cdot \sqrt{64} \stackrel{?}{=} \sqrt{1600}\)

Réponse : Vrai

Explication :

Calculons chaque côté de l’équation.

1. Calcul du côté gauche : \[\sqrt{25} \times \sqrt{64} = 5 \times 8 = 40\]

2. Calcul du côté droit : \[\sqrt{1600} = 40\]

Les deux côtés sont égaux, l’égalité est donc vraie.

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f) \(\sqrt{\frac{81}{9}} \stackrel{?}{=} \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}\)

Réponse : Vrai

Explication :

Appliquons la propriété \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

1. Calcul du côté gauche : \[\sqrt{\frac{81}{9}} = \sqrt{9} = 3\]

2. Calcul du côté droit : \[\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3\]

Les deux côtés sont égaux, l’égalité est donc vraie.

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g) \((\sqrt{36})^{2} \stackrel{?}{=} \sqrt{36} \cdot \sqrt{36}\)

Réponse : Vrai

Explication :

Calculons chaque côté de l’équation.

1. Calcul du côté gauche : \[(\sqrt{36})^{2} = (6)^2 = 36\]

2. Calcul du côté droit : \[\sqrt{36} \times \sqrt{36} = 6 \times 6 = 36\]

Les deux côtés sont égaux, l’égalité est donc vraie.

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h) \(64 \stackrel{?}{=} (\sqrt{64})^{2}\)

Réponse : Vrai

Explication :

Calculons chaque côté de l’équation.

1. Calcul du côté droit : \[(\sqrt{64})^{2} = 8^{2} = 64\]

Les deux côtés sont égaux, l’égalité est donc vraie.

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i) \(\sqrt[3]{8} \stackrel{?}{=} 2\)

Réponse : Vrai

Explication :

Calculons la racine cubique de 8.

\[\sqrt[3]{8} = 2\]

En effet, \(2 \times 2 \times 2 = 8\). L’égalité est donc vraie.

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j) \(\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{27} \stackrel{?}{=} 27\)

Réponse : Vrai

Explication :

Calculons chaque facteur.

1. \(\sqrt[3]{27} = 3\) car \(3 \times 3 \times 3 = 27\)

2. Donc, \[3 \times 3 \times 3 = 27\]

L’égalité est donc vraie.

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k) \(\sqrt{900} + \sqrt{100} \stackrel{?}{=} \sqrt{900 + 100}\)

Réponse : Faux

Explication :

Calculons chaque côté de l’équation séparément.

1. Calcul du côté gauche : \[\sqrt{900} + \sqrt{100} = 30 + 10 = 40\]

2. Calcul du côté droit : \[\sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} \approx 31.62\]

3. Comparaison : \[40 \neq 31.62\]

L’égalité est donc fausse.

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l) \(\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{11}} \stackrel{?}{=} \sqrt{\frac{121}{11}}\)

Réponse : Vrai

Explication :

Appliquons la propriété \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\).

1. Calcul du côté gauche : \[\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{11}} = \frac{11}{\sqrt{11}}\] Rationalisons le dénominateur : \[\frac{11}{\sqrt{11}} \times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{11\sqrt{11}}{11} = \sqrt{11}\]

2. Calcul du côté droit : \[\sqrt{\frac{121}{11}} = \sqrt{11}\]

Les deux côtés sont égaux, l’égalité est donc vraie.

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Conclusion

Parmi les égalités proposées, celles qui sont vraies sont les points a), c), e), f), g), h), i), j), et l). Les égalités b), d), et k) sont fausses car elles ne respectent pas les propriétés des racines carrées et des opérations arithmétiques impliquées.