Exercice 1

Question : Estime les nombres suivants :

1. \(\sqrt{63}\)
   
2. \(\sqrt{810}\)
   
3. \(\sqrt[3]{729}\)
   
4. \(\sqrt{25\,000}\)
   
5. \(\sqrt[3]{343\,000}\)
   
6. \(\sqrt[5]{243\,000}\)
   
7. \(\sqrt{2,25}\)
   
8. \(\sqrt{2\,025}\)
   
9. \(\sqrt{10^{8}}\)
   
10. \(\sqrt{625}\)
    
11. \(\sqrt{3^{6}}\)
    
12. \(\sqrt{\dfrac{81}{64}}\)

Vérifie ensuite avec ta calculatrice.

Réponse

Réponses : a) 3√7 (≈ 7,94)
b) 9√10 (≈ 28,46)
c) 9
d) 50√10 (≈ 158,11)
e) 70
f) 3×10^(3/5) (≈ 11,94)
g) 1,5
h) 45
i) 10⁴ (soit 10 000)
j) 25
k) 27
l) 9/8 (soit 1,125)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque point.

────────────────────────────── a) Calcul de √63

1. On remarque que 63 peut s’écrire comme 9 × 7.
2. On connaît √9 = 3. Ainsi, √63 = √9 × √7 = 3√7.
3. Comme √7 ≈ 2,645, on a 3 × 2,645 ≈ 7,94.

→ Réponse a) : 3√7, soit environ 7,94.

────────────────────────────── b) Calcul de √810

1. On écrit 810 sous forme de produit de facteurs carrés : 810 = 81 × 10.
2. Comme √81 = 9, alors √810 = √81 × √10 = 9√10.
3. Sachant que √10 ≈ 3,162, on obtient 9 × 3,162 ≈ 28,46.

→ Réponse b) : 9√10, soit environ 28,46.

────────────────────────────── c) Calcul de la racine cubique de 729, notée ∛729

1. On se souvient que 9³ = 729.
2. Ainsi, ∛729 = 9.

→ Réponse c) : 9.

────────────────────────────── d) Calcul de √25 000

1. Pour simplifier, on cherche un facteur carré. On remarque que 25 000 = 100 × 250.
2. En extrayant la racine, √25 000 = √100 × √250 = 10√250.
3. On peut simplifier √250 en remarquant que 250 = 25 × 10. Ainsi, √250 = √25 × √10 = 5√10.
4. Finalement, √25 000 = 10 × 5√10 = 50√10.
5. Comme √10 ≈ 3,162, alors 50√10 ≈ 50 × 3,162 ≈ 158,11.

→ Réponse d) : 50√10, soit environ 158,11.

────────────────────────────── e) Calcul de la racine cubique de 343 000, notée ∛343 000

1. On observe que 343 000 = 343 × 1000.
2. On rappelle que 343 = 7³ et 1000 = 10³.
3. La racine cubique se répartit sur le produit : ∛(7³ × 10³) = ∛7³ × ∛10³ = 7 × 10 = 70.

→ Réponse e) : 70.

────────────────────────────── f) Calcul de la racine cinquième de 243 000, notée ⁿ√(243 000) avec n = 5

1. On remarque que 243 = 3⁵. Ainsi, 243 000 peut s’écrire comme 3⁵ × 1000.
2. Comme 1000 = 10³, alors 243 000 = 3⁵ × 10³.
3. La racine cinquième d’un produit s’exprime en exposants : ⁿ√(3⁵ × 10³) = (3⁵)^(1/5) × (10³)^(1/5) = 3 × 10^(3/5).
4. Pour une estimation, calculons 10^(3/5). En effet, 10^(0,6) ≈ 3,98.
5. Ainsi, le résultat est environ 3 × 3,98 ≈ 11,94.

→ Réponse f) : 3 × 10^(3/5), soit environ 11,94.

────────────────────────────── g) Calcul de √2,25

1. On connaît que 1,5 × 1,5 = 2,25.
2. Dès lors, √2,25 = 1,5.

→ Réponse g) : 1,5.

────────────────────────────── h) Calcul de √2025

1. On remarque que 45 × 45 = 2025.
2. Donc, √2025 = 45.

→ Réponse h) : 45.

────────────────────────────── i) Calcul de √(10⁸)

1. En utilisant la propriété des exposants pour la racine carrée, √(10⁸) = 10^(8/2) = 10⁴.
2. Or, 10⁴ = 10 000.

→ Réponse i) : 10 000.

────────────────────────────── j) Calcul de √625

1. Comme 25 × 25 = 625, on a √625 = 25.

→ Réponse j) : 25.

────────────────────────────── k) Calcul de √(3⁶)

1. En appliquant les propriétés des puissances, √(3⁶) = 3^(6/2) = 3³.
2. Or, 3³ = 27.

→ Réponse k) : 27.

────────────────────────────── l) Calcul de √(81/64)

1. La racine d’une fraction se décompose en le quotient des racines : √(81/64) = √81/√64.
2. Sachant que √81 = 9 et √64 = 8, on trouve √(81/64) = 9/8.
3. 9/8 en notation décimale donne 1,125.

→ Réponse l) : 9/8, soit 1,125.

────────────────────────────── Pour vérifier ces résultats, vous pouvez utiliser votre calculatrice en saisissant directement les expressions.