Exercice 19

Question :

  1. Existe-t-il un rectangle qui n’est pas un losange et dont les diagonales sont perpendiculaires ?

  2. Que peut-on dire d’un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires ?

Réponse

Résumé de l’exercice :

  1. Il n’existe pas de rectangle non losange avec des diagonales perpendiculaires.

  2. Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question a)

Existe-t-il un rectangle qui n’est pas un losange et dont les diagonales sont perpendiculaires ?

Réponse : Non, il n’existe pas de tel rectangle.

Explication détaillée :

Pour déterminer si un rectangle qui n’est pas un losange peut avoir des diagonales perpendiculaires, analysons les propriétés des rectangles et des losanges.

  1. Définitions :
    • Rectangle : Un quadrilatère à quatre angles droits. Ses côtés opposés sont égaux.
    • Losange : Un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires.
  2. Diagonales d’un rectangle :
    • Dans un rectangle, les diagonales sont de même longueur.
    • Cependant, elles ne sont généralement pas perpendiculaires sauf si le rectangle est aussi un losange.
  3. Conditions pour que les diagonales soient perpendiculaires dans un rectangle :
    • Si un rectangle a des diagonales perpendiculaires, cela signifie que ses côtés doivent également être de même longueur pour satisfaire les propriétés du losange.
    • Ainsi, un rectangle avec des diagonales perpendiculaires est nécessairement un carré (qui est à la fois un rectangle et un losange).
  4. Conclusion :
    • Il n’existe pas de rectangle qui ne soit pas un losange (c’est-à-dire, un rectangle qui n’est pas un carré) avec des diagonales perpendiculaires.
    Donc, la réponse est non.
Question b)

Que peut-on dire d’un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires ?

Réponse : Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Explication détaillée :

Analysons les caractéristiques d’un parallélogramme et les conditions pour que ses diagonales soient perpendiculaires.

  1. Définition :
    • Parallélogramme : Un quadrilatère où les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
  2. Propriétés des diagonales dans un parallélogramme :
    • En général, les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, mais elles ne sont pas nécessairement perpendiculaires.
  3. Condition pour que les diagonales soient perpendiculaires :
    • Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires, cela impose une contrainte supplémentaire sur les côtés du parallélogramme.
  4. Application du Théorème de Pythagore :
    • Considérons un parallélogramme avec des côtés de longueurs \(a\) et \(b\), et des diagonales perpendiculaires.
    • En traçant les diagonales, nous obtenons des triangles rectangles.
    • Selon le Théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (diagonale) est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés.
  5. Implications :
    • Si les diagonales sont perpendiculaires, les longueurs des côtés doivent satisfaire la condition \(a = b\), ce qui signifie que tous les côtés du parallélogramme sont égaux.
  6. Conclusion :
    • Un parallélogramme avec des diagonales perpendiculaires a tous ses côtés de même longueur, ce qui est la définition d’un losange.
    Ainsi, un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Résumé

Ces conclusions sont basées sur l’analyse des propriétés géométriques des figures et l’application du Théorème de Pythagore.

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