Exercice 19

Question :

1. Existe-t-il un rectangle qui n’est pas un losange et dont les diagonales sont perpendiculaires ?

2. Que peut-on dire d’un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires ?

Réponse

Résumé de l’exercice :

1. Il n’existe pas de rectangle non losange avec des diagonales perpendiculaires.

2. Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question a)

Existe-t-il un rectangle qui n’est pas un losange et dont les diagonales sont perpendiculaires ?

Réponse : Non, il n’existe pas de tel rectangle.

Explication détaillée :

Pour déterminer si un rectangle qui n’est pas un losange peut avoir des diagonales perpendiculaires, analysons les propriétés des rectangles et des losanges.

1. Définitions :
   • Rectangle : Un quadrilatère à quatre angles droits. Ses côtés opposés sont égaux.
   • Losange : Un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires.
2. Diagonales d’un rectangle :
   • Dans un rectangle, les diagonales sont de même longueur.
   • Cependant, elles ne sont généralement pas perpendiculaires sauf si le rectangle est aussi un losange.
3. Conditions pour que les diagonales soient perpendiculaires dans un rectangle :
   • Si un rectangle a des diagonales perpendiculaires, cela signifie que ses côtés doivent également être de même longueur pour satisfaire les propriétés du losange.
   • Ainsi, un rectangle avec des diagonales perpendiculaires est nécessairement un carré (qui est à la fois un rectangle et un losange).
4. Conclusion :
   • Il n’existe pas de rectangle qui ne soit pas un losange (c’est-à-dire, un rectangle qui n’est pas un carré) avec des diagonales perpendiculaires.
   Donc, la réponse est non.

Question b)

Que peut-on dire d’un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires ?

Réponse : Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Explication détaillée :

Analysons les caractéristiques d’un parallélogramme et les conditions pour que ses diagonales soient perpendiculaires.

1. Définition :
   • Parallélogramme : Un quadrilatère où les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
2. Propriétés des diagonales dans un parallélogramme :
   • En général, les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, mais elles ne sont pas nécessairement perpendiculaires.
3. Condition pour que les diagonales soient perpendiculaires :
   • Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires, cela impose une contrainte supplémentaire sur les côtés du parallélogramme.
4. Application du Théorème de Pythagore :
   • Considérons un parallélogramme avec des côtés de longueurs \(a\) et \(b\), et des diagonales perpendiculaires.
   • En traçant les diagonales, nous obtenons des triangles rectangles.
   • Selon le Théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (diagonale) est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés.
5. Implications :
   • Si les diagonales sont perpendiculaires, les longueurs des côtés doivent satisfaire la condition \(a = b\), ce qui signifie que tous les côtés du parallélogramme sont égaux.
6. Conclusion :
   • Un parallélogramme avec des diagonales perpendiculaires a tous ses côtés de même longueur, ce qui est la définition d’un losange.
   Ainsi, un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Résumé

• a) Il n’existe pas de rectangle non losange avec des diagonales perpendiculaires.
• b) Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Ces conclusions sont basées sur l’analyse des propriétés géométriques des figures et l’application du Théorème de Pythagore.