Exercice 19
Question :
Existe-t-il un rectangle qui n’est pas un losange et dont les diagonales sont perpendiculaires ?
Que peut-on dire d’un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires ?
Réponse
Résumé de l’exercice :
Il n’existe pas de rectangle non losange avec des diagonales perpendiculaires.
Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice
Question a)
Existe-t-il un rectangle qui n’est pas un losange et dont les diagonales sont perpendiculaires ?
Réponse : Non, il n’existe pas de tel rectangle.
Explication détaillée :
Pour déterminer si un rectangle qui n’est pas un losange peut avoir des diagonales perpendiculaires, analysons les propriétés des rectangles et des losanges.
- Définitions :
- Rectangle : Un quadrilatère à quatre angles droits. Ses côtés opposés sont égaux.
- Losange : Un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires.
- Diagonales d’un rectangle :
- Dans un rectangle, les diagonales sont de même longueur.
- Cependant, elles ne sont généralement pas perpendiculaires sauf si le rectangle est aussi un losange.
- Conditions pour que les diagonales soient perpendiculaires dans un rectangle :
- Si un rectangle a des diagonales perpendiculaires, cela signifie que ses côtés doivent également être de même longueur pour satisfaire les propriétés du losange.
- Ainsi, un rectangle avec des diagonales perpendiculaires est nécessairement un carré (qui est à la fois un rectangle et un losange).
- Conclusion :
- Il n’existe pas de rectangle qui ne soit pas un losange (c’est-à-dire, un rectangle qui n’est pas un carré) avec des diagonales perpendiculaires.
Donc, la réponse est non.
Question b)
Que peut-on dire d’un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires ?
Réponse : Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
Explication détaillée :
Analysons les caractéristiques d’un parallélogramme et les conditions pour que ses diagonales soient perpendiculaires.
- Définition :
- Parallélogramme : Un quadrilatère où les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
- Propriétés des diagonales dans un parallélogramme :
- En général, les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, mais elles ne sont pas nécessairement perpendiculaires.
- Condition pour que les diagonales soient perpendiculaires :
- Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires, cela impose une contrainte supplémentaire sur les côtés du parallélogramme.
- Application du Théorème de Pythagore :
- Considérons un parallélogramme avec des côtés de longueurs \(a\) et \(b\), et des diagonales perpendiculaires.
- En traçant les diagonales, nous obtenons des triangles rectangles.
- Selon le Théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (diagonale) est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés.
- Implications :
- Si les diagonales sont perpendiculaires, les longueurs des côtés doivent satisfaire la condition \(a = b\), ce qui signifie que tous les côtés du parallélogramme sont égaux.
- Conclusion :
- Un parallélogramme avec des diagonales perpendiculaires a tous ses côtés de même longueur, ce qui est la définition d’un losange.
Ainsi, un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
Résumé
- a) Il n’existe pas de rectangle non losange avec des diagonales perpendiculaires.
- b) Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
Ces conclusions sont basées sur l’analyse des propriétés géométriques des figures et l’application du Théorème de Pythagore.